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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 88

O tetraedro regular O A B C tem lados de comprimento l   =   1 . Sendo O A → = a →   , O B → = b → e O C → = c → ,

  1. determine a projeção ortogonal, u → , de a → na direção de b →   +   c → ;
  2. calcule o ângulo θ dos vetores a → e u → .

Passo 1

  1. E aí, gente! Para obter a projeção ortogonal, temos que lembrar da seguinte fórmula:

    2. u → = p r o j   b →   +   c →   a → = a → ⋅ ( b →   +   c → ) | b →   +   c → | 2 ( b →   +   c → )

    Ok, então vamos calcular, separadamente, cada um dos termos da fórmula acima:

    a → ⋅ ( b →   +   c → ) = a → ⋅ b →   + a → ⋅   c →

    | b →   +   c → | 2 = ( b →   +   c → ) ⋅ ( b →   +   c → ) = b → ⋅ b →   + b → ⋅ c → +   c → ⋅ b →     +   c → ⋅   c → = | b → | 2   + 2 b → ⋅ c → + |   c → | 2

    Como se trata de um tetraedro regular, então cada uma das faces é um triângulo equilátero, o que significa que os ângulos entre a →   , b → e c → são todos iguais a 60 ° . Além disso, l   =   1 , ou seja, | a → | = | b → | = | c → | = 1 . Assim,

    a → ⋅ b → = | a → | | b → | c o s 60 ° = 1 2 | a → | | b → | = 1 2

    De maneira similar, podemos mostrar que

    a → ⋅   c → = b → ⋅ c → = 1 2

    Então, vamos substituir o resultado desses produtos internos em

    a → ⋅ ( b →   +   c → ) = a → ⋅ b →   + a → ⋅   c → = 1 2 + 1 2 = 1

    | b →   +   c → | 2 = | b → | 2   + 2 b → ⋅ c → + |   c → | 2 = 1 + 2 ⋅ 1 2 + 1 = 3

    Finalmente, podemos obter

    u → = p r o j   b →   +   c →   a → = a → ⋅ ( b →   +   c → ) | b →   +   c → | 2 ( b →   +   c → ) = 1 1 ⋅ 3 ( b →   +   c → ) = 1 3 ( b →   +   c → )

    Passo 2

  2. Galera, o ângulo θ dos vetores a → e u → é dado por

c o s θ = a → ⋅ u → | a → | | u → |

Como | a → | = 1 ,

a → ⋅ u → = 1 3 a → ⋅ ( b →   +   c → ) = 1 3 a → ⋅ b →   + 1 3 a → ⋅   c → = 1 2 ⋅ 1 3 + 1 2 ⋅ 1 3 = 1 3

e

| u → | 2 = 1 9 ( b →   +   c → ) ⋅ ( b →   +   c → ) = 1 9 ( | b → | 2   + 2 b → ⋅ c → + |   c → | 2 ) = 1 9 ( 1 + 2 ⋅ 1 2 + 1 ) = 3 9 = 1 3

⇒ | u → | = 1 3

então,

c o s θ = a → ⋅ u → | a → | | u → | = 1 3 1 ⋅ 1 3 = 3 3 = 1 3

Até mais, pessoal!

Resposta

  1. u → = 1 3 ( b →   +   c → )
  2. c o s θ = 1 3