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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 81

No tetraedro O A B C temos ∠ ( O A → , O B → ) = 90 º , ∠ ( O A → , O C → ) = 60 º , ∠ ( O C → , O B → ) = 60 º , O A → = a → , | a → | = 1 , O B → = b → , | b → | = 1 , O C → = c → , | c → | = 1 , x → = a → + 2 b → e y → = b → - c → . Calcule o ângulo entre x → e y → .

Passo 1

Prontos para mais uma questão, galera? Então vamos lá!

Para calcular o ângulo entre x → e y → , precisamos da fórmula

c o s   θ = x → ⋅ y → | x → | | y | →

Vamos calcular cada termo separadamente

x → ⋅ y → = ( a → + 2 b → ) ⋅ ( b → - c → ) = 2 | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + a → ⋅ b → - a → ⋅ c →

| x → | 2 = x → ⋅ x → = ( a → + 2 b → ) ⋅ ( a → + 2 b → ) = | a → | 2 + 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2

| y → | 2 = y → ⋅ y → = ( b → - c → ) ⋅ ( b → - c → ) = | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + | c → | 2

Além disso, temos ∠ ( O A → , O B → ) = 90 º , ∠ ( O A → , O C → ) = 60 º , ∠ ( O C → , O B → ) = 60 º , O A → = a → , | a → | = 1 , O B → = b → , | b → | = 1 , O C → = c → , | c → | = 1

∠ ( a → , b → ) = 90 º ⇒ a → ⋅ b → = 0

∠ ( a → , c → ) = 60 º ⇒ c o s   ( ∠ ( a → , c → ) ) = a → ⋅ c → | a → | | c | → = 1 2 ⇒ a → ⋅ c → = 1 2 | a → | | c | → = 1 2

∠ ( c → , b → ) = 60 º ⇒ b → ⋅ c → = 1 2 | b → | | c | → = 1 2

Passo 2

Voltando aos cálculos anteriores e substituindo esses resultados, obtemos

x → ⋅ y → = 2 | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + a → ⋅ b → - a → ⋅ c → = 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 2 - 1 2 = 1 2

| x → | 2 = | a → | 2 + 4 a → ⋅ b → + 4 | b → | 2 = 1 + 4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 = 5 ⇒ | x → | = 5

| y → | 2 = | b → | 2 - 2 b → ⋅ c → + | c → | 2 = 1 - 2 ⋅ 1 2 + 1 = 1 ⇒ | y → | = 1

Finalmente, podemos obter o ângulo

c o s   θ = x → ⋅ y → | x → | | y | → = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 5 = 1 2 5

Resposta

c o s   θ = 1 2 5