A trajetória de uma partícula é dada por

x = 2 + 2 cos ⁡ t

y = 1 + 2 sin ⁡ t ,       π 8 ≤ t ≤ 2 π

Determine o menor valor de t para o qual a partícula se encontra a igual distância dos pontos A 0,4     e B ( 1,5 ) .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinarmos o menor valor de t o qual a partícula se encontra a igual a distância dos pontos A 0,4   B ( 1,5 ) dada que

x = 2 + 2 cos ⁡ t

y = 1 + 2 sin ⁡ t ,       π 8 ≤ t ≤ 2 π

Fica tranquilo ela é muito de boa

Passo 2

Dado que,

x = 2 + 2 cos ⁡ t

y = 1 + 2 sin ⁡ t

Vamos ter que,

2 cos ⁡ t = x - 2 2 sin ⁡ t = y - 1

cos ⁡ t = x - 2 2 2 sin ⁡ t = y - 2 2 4

Ficando,

x - 2 2 + y - 2 2 = 4

Passo 3

Tendo os pontos A 0,4 ,   B ( 1,5 ) para P ( x , y ) pertencendo a circunferência vamos ter que a distância vale

d P A 2 = P x - A x 2 + P y - A y 2

d P A 2 = x - 0 2 + y - 4 2 = x 2 + y 2 - 8 y + 16

d P B 2 = P x - B x 2 + P y - B y 2

d P B 2 = x - 1 2 + y - 5 2 = x 2 + y 2 - 2 x - 10 y + 26

d P A 2 = d P B 2

- 8 y + 16 = - 2 x - 10 y + 26

2 x + 2 y = 10

x + y = 5

Sendo,

x = 2 + 2 cos ⁡ t       e     y = 1 + 2 sin ⁡ t

2 + 2 cos ⁡ t + 1 + 2 sin ⁡ t = 5

2 cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t = 2

cos ⁡ t + sin ⁡ t = 1  

t = π 2 e t = 2 π

O menor valor é t = π 2

Resposta

t = π 2