A transformação matricial f: R2 → R2 definida por f(v) = Av, onde

A = k 0 0 k

e k é um número real, denomina-se dilatação se k > 1 e de contração se 0

  1. k = 4
  2. k = ¼

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de computação gráfica, envolvendo transformações lineares.

A partir do enunciado, sendo v = x y , temos a transformação linear dada por:

f v = f x y = k 0 0 k x y ,   s e n d o   k   u m   e s c a l a r .

E os vértices do retângulo do exercício 2:

v 1 = 1 1 ,   v 2 = 1 4 , v 3 = 3 1   e   v 4 = 3 4

Passo 2

Item a

Para realizarmos a dilatação (k = 4) dos pontos dados, e obter um novo retângulo, teremos que calcular as imagens f(v1), f(v2), f(v3) e f(v4):

f v 1 = 4 0 0 4 1 1 = 4 + 0 0 + 4 = 4 4

f v 2 = 4 0 0 4 1 4 = 4 + 0 0 + 16 = 4 16

f v 3 = 4 0 0 4 3 1 = 12 + 0 0 + 4 = 12 4

f v 4 = 4 0 0 4 3 4 = 12 + 0 0 + 16 = 12 16

Passo 3

Os vértices do retângulo dilatado são (4, 4), (4, 16), (12, 4) e (12, 16).

O retângulo antes da dilatação:

Após a dilatação:

Passo 4

Item b

Para realizarmos a contração (k = ¼) dos pontos dados, e obter um novo retângulo, teremos que calcular as imagens f(v1), f(v2), f(v3) e f(v4):

f v 1 = 1 4 0 0 1 4 1 1 = 1 4 + 0 0 + 1 4 = 1 4 1 4

f v 2 = 1 4 0 0 1 4 1 4 = 1 4 + 0 0 + 1 = 1 4 1

f v 3 = 1 4 0 0 1 4 3 1 = 3 4 + 0 0 + 1 4 = 3 4 1 4

f v 4 = 1 4 0 0 1 4 3 4 = 3 4 + 0 0 + 1 = 3 4 1

Passo 5

Os vértices do retângulo dilatado são (1/4, 1/4), (1/4, 1), (3/4, 1/4) e (3/4, 1).

O retângulo após a contração:

Resposta

Ver passo a passo.