A transposta de uma matriz elementar é uma matriz elementar do mesmo tipo? O produto de

duas matrizes elementares é uma matriz elementar?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

‎Se E é matriz elementar do tipo I‎‎ (obtido pela intercalação de duas linhas de matriz de identidade), então E é matriz simétrica porque os dois únicos elementos fora da diagonal serão simétricos em relação à diagonal principal e, portanto, ‎ E = E T . Assim, ‎ E T é matriz elementar do tipo I}

Passo 2

‎Se E é matriz elementar do tipo I‎‎ (obtido pela intercalação de duas linhas de matriz de identidade), então E é matriz simétrica porque os dois únicos elementos fora da diagonal serão simétricos em relação à diagonal principal e, portanto, ‎ E = E T . Assim, ‎ E T é matriz elementar do tipo I

‎ Se E é matriz elementar do tipo III‎‎ (obtido adicionando um múltiplo de uma linha a outra linha da matriz de identidade), então haverá apenas uma entrada não zero fora da diagonal principal da matriz E. Assim, ele vale para ‎ E T ‎. Se E for obtido multiplicando a linha i-th por ‎‎ α ‎ e adicioná-lo à linha j-th de matriz de identidade, em seguida, a matriz ‎ E T será obtido multiplicando j-th linha por ‎‎ α ‎ e adicioná-lo à linha i-th de matriz de identidade‎

‎Produto de duas matrizes elementares não precisa ser uma matriz elementar. Considere o seguinte exemplo:‎

‎A primeira matriz é uma matriz elementar do tipo III, enquanto a segunda matriz é uma matriz elementar do tipo II, mas seu produto não é uma matriz elementar.‎

Resposta

Resposta nos passos.