A B C D é um trapézio, vec A B = 4 vec a , vec C D = 2 vec a , vec A C = vec b , vec T B = 4 vec T D e vec C S = (3)/(2) vec C D . Escreva vec T S em função de vec a e vec b .

Passo 1

Galera, como temos um trapézio, dois dos lados são paralelos. Esses lados são vec A B e vec C D porque vec A B = 4 vec a , vec C D = 2 vec a . Outro detalhe que devemos ter atenção é que vec T B = 4 vec T D . Como os dois vetores têm a mesma origem, que é o ponto T , então esse ponto está fora do trapézio. Já vec C S = (3)/(2) vec C D indica que S está em algum ponto na direção de vec C D . Como (3)/(2) vec C D ultrapassa o ponto D , então S também está fora do trapézio.

Além disso, como vec C D = 2 vec a , então

vec C S = (3)/(2) vec C D = (3)/(2) 2 vec a = 3 vec a

e, também temos que

vec C S = vec C D + vec D S => vec D S = vec C S - vec C D = 3 vec a - 2 vec a = vec a

=> vec D S = vec a

Passo 2

Também é conveniente escrever vec T D em termos de vec a e vec b . Para isso, temos que notar

vec T B = vec T D + vec D B => vec D B = vec T B - vec T D = 4 vec T D - vec T D = 3 vec T D

=> vec T D = (1)/(3) vec D B

Por outro lado, nós temos

vec D B = vec D C + vec C A + vec A B = - vec C D - vec A C + vec A B = - 2 vec a - vec b + 4 vec a = 2 vec a - vec b

Então, ficamos

vec T D = (1)/(3) vec D B = (1)/(3) ( 2 vec a - vec b )

Agora nós temos todos os ingredientes para obter vec T S :

vec T S = vec T D + vec D S = (1)/(3) ( 2 vec a - vec b ) + vec a = (5)/(3) vec a - (1)/(3) vec b

Resposta

vec T S = (5)/(3) vec a - (1)/(3) vec b