A B C D é um trapézio. A B →   =   2 a → , D C →   =   3 a → , D A → = b → , D P → = P Q → = Q C   → =   a → , D R → = 3 5 b → , M é ponto médio de B C ̄ e T é a interseção de P M ̄ e R Q ̄ . Escreva P T → como combinação linear de a → e b →   .

Passo 1

Nessa questão temos duas informações iniciais que nos ajudaram nos passos a frente. Uma delas é que M é o ponto médio de B C ̄ . Ou seja,

B M →   =   1 2 B C →

outra informação é que T é a interseção de P M ̄ e R Q ̄ . Daí,

P M →   =   P T →   +   T M   →   ⇒   P T →   =   P M →   -   T M → e

R Q →   =   R T →   +   T Q →

Além disso D R → = 3 5 b → indica que R está a três quintos do caminho de D a A , enquanto D P → = P Q → = Q C   → =   a → = 1 3 D C → nos ajuda a ver que P , Q estão, respectivamente, a um terço e dois terços do caminho de A a C . A figura do trapézio fica mais ou menos assim:

Passo 2

Agora precisamos achar P T → usando o fato que T M → = α   P M →

Assim,

P T →   = P M →   -   T M → = P M →   -   α   P M → = ( 1 - α ) P M → = ( 1 - α ) ( P C → + C M → )

P T →   = ( 1 - α ) ( 2 a → + 1 2 ( - a → + b → ) ) = ( 1 - α ) ( 3 2 a → + 1 2 b → )

onde usamos

C M → = 1 2 C B → = 1 2 ( C D → + D A → + A B → ) = 1 2 ( - 3 a → + b → + 2 a → ) = 1 2 ( - a → + b → )

Tá legal, mas também conseguimos escrever P T → como

P T → = P Q → + Q T → = P Q → + β Q R → = a → + β ( - 2 a → + 3 5 b → )

onde agora usamos Q T → = β Q R →

Passo 3

As duas expressões para P T → devem ser iguais, então

( 1 - α ) ( 3 2 a → + 1 2 b → ) = a → + β ( - 2 a → + 3 5 b → )

⇒ ( 3 2 - 3 2 α + 2 β - 1 ) a → = ( 3 5 β + 1 2 α - 1 2 ) b →

⇒ ( 1 2 - 3 2 α + 2 β ) a → = ( 3 5 β + 1 2 α - 1 2 ) b →

Como a → , b → são l.i., devemos ter

1 2 - 3 2 α + 2 β = 0

3 5 β + 1 2 α - 1 2 = 0

Vamos multiplicar a segunda equação por 3 e somar com a primeira:

1 2 + 2 β + 9 5 β - 3 2 = 0 ⇒ 19 5 β - 1 = 0 ⇒ β = 5 19

Agora, substituímos β = 5 19 na primeira equação:

1 2 - 3 2 α + 2 β = 0 ⇒ 1 2 - 3 2 α + 10 19 = 0 ⇒ 3 2 α = 19 + 20 38 = 39 38 ⇒ α = 13 19  

Finalmente, substituímos α = 13 19 em

P T →   = ( 1 - α ) ( 3 2 a → + 1 2 b → ) = ( 1 - 13 19 ) ( 3 2 a → + 1 2 b → ) = 6 19 ( 3 2 a → + 1 2 b → ) = 9 19 a → + 3 19 b →

Resposta

P T →   = 9 19 a → + 3 19 b →