No trapézio ao lado, C D ̄ e D B ̄ foram divididos ao meio e A B ̄ em quatro partes iguais.

  1. Escreva x → , y → e z → em função de u → e v → .
  2. Escreva z → em função apenas de x → e y → .

Passo 1

  1. Fala, galera! Antes de mais nada, vamos identificar
  2. A C → = u →

    C D → = v →

    A B → = 2 v →

    Ok, vamos começar pelo vetor mais simples que é z → . Ele sai do ponto médio de C D ̄ e vai até o ponto médio de D B ̄ . Assim, temos

    z → = 1 2 C D → + 1 2 D B →

    Já sabemos que C D → = v → , mas ainda precisamos determinar D B → :

    D B → = D C → + C A → + A B → = - C D → - A C → + A B → = - v → - u → + 2 v → = v → - u →

    Assim, ficamos com

    z → = 1 2 C D → + 1 2 D B → = 1 2 v → + 1 2 ( v → - u → ) = v → - 1 2 u →

    Agora vamos tentar obter os outros vetores. O vetor x → sai do ponto C e vai até um quarto de A B → e o vetor y → sai do ponto que marca um quarto de A B → e vai até o ponto médio de C D → :

    x → = C A → + 1 4 A B → = - A C → + 1 4 A B → = - u → + 1 4 2 v → = - u → + 1 2 v →

    y → = - 1 4 A B → + A C → + 1 2 C D → = - 1 4 2 v → + u → + 1 2 v → = - 1 2 v → + u → + 1 2 v → = u →

    Passo 2

  3. Escrever z → em função apenas de x → e y → é bem simples. A gente só precisa fazer:

z → = α x → + β y → ⇒ v → - 1 2 u → = α ( - u → + 1 2 v → ) + β u →

⇒ v → - 1 2 u → = ( β - α ) u → + α 2 v →

Comparando o lado esquerdo com o lado direito da equação, concluímos que

α = 2

β - α = - 1 2 ⇒ β = - 1 2 + α = - 1 2 + 2 = 3 2

Portanto,

z → = 2 x → + 3 2 y →

Resposta

  1. x → = - u → + 1 2 v → , y → = u → , z → = v → - 1 2 u →
  2. z → = 2 x → + 3 2 y →