No trapézio A B C D , temos: A B →   = 2 u → , A D →   = 4 v → e B C →   = 3 v → .

  1. Localize na figura os pontos E e F tais que B E →   = 2 E C → e 3 E F →   =   2 F A → .
  2. Expresse w →   =   D F → como combinação linear de u → e v → .

Passo 1

Fala, pessoal! O trapézio dessa questão é mais ou menos assim:

  1. Para localizar o ponto E , que satisfaz B E →   = 2 E C → , vamos usar
  2. B C → = B E → + E C → = 2 E C → + E C → = 3 E C →

    ⇒ E C → = 1 3 B C →

    Além disso,

    B C → = B E → + E C →

    ⇒ B E → = B C → - E C → = B C → - 1 3 B C → = 2 3 B C →

    Ou seja, o ponto E está localizado a dois terços do segmento ligando B a C .

    Nós vamos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio e usar 3 E F →   =   2 F A → para determinar a localização de F . Mas antes, temos que notar que essa relação indica que F está no segmento E A ̄ . Temos

    E A → = E F → + F A → = E F → + 3 2 E F → = 5 2 E F →

    ⇒ E F → = 2 5 E A →

    Assim, vemos que F está a dois quintos do segmento E A ̄ .

    Passo 2

  3. Para expressar w →   =   D F → como combinação linear de u → e v → , temos que ir de D a F por um caminho alternativo:

D F → =   D C → +   C E → +   E F →

Agora, vamos expressar cada um desses vetores em termos de u → e v → :

D C → = D A → + A B → + B C → = - A D → + A B → + B C → = - 4 v → + 2 u → + 3 v → = - v → + 2 u →

C E → = - E C → = - 1 3 B C → = - 1 3 3 v → = - v →

E F → = 2 5 E A → = 2 5 ( E B → + B A → ) = 2 5 ( - B E → + B A → ) = 2 5 ( - 2 3 B C → + B A → ) = - 4 15 B C → - 2 5 A B →

E F → = - 4 15 3 v → - 2 5 2 u → = - 4 5 v → - 4 5 u →

Finalmente, podemos substituir esses resultados em

D F → =   D C → +   C E → +   E F → = - v → + 2 u → - v → - 4 5 v → - 4 5 u → = 6 5 u → - 14 5 v →

Resposta

D F → = 6 5 u → - 14 5 v →