O triângulo A B C é equilátero. A B → = b → , A C →   = c → , A P →   = 1 3 b → e A Q →   = 2 3 c → . Determine o ângulo formado por C P → e Q B → .

Passo 1

Fala, pessoal! É muito importante lembrarmos que, como o triângulo A B C é equilátero, então,

| A B | → = | b → | = | A C | →   = | c → | = | B C → |

e os ângulos internos são todos iguais a 60 º . Agora, vamos tentar determinar os vetores C P → e Q B → :

C P → = C A → + A P → = - A C → + A P → = - c → + 1 3 b →

Q B → =   Q A → +   A B → = - A Q → +   A B → = - 2 3 c → + b →  

Para descobrir o ângulo formado por C P → e Q B → , temos que usar a fórmula:

c o s   θ = C P → ⋅ Q B → | C P → | | Q B → |

Passo 2

Então, vamos calcular cada termo na fórmula do ângulo separadamente:

C P → ⋅ Q B → = ( - c → + 1 3 b → ) ⋅ ( -   2 3 c → + b → ) = 2 3 c → ⋅ c →   - 11 9 c → ⋅ b → + 1 3 b → ⋅ b → = 2 3 | c → | 2 - 11 9 c → ⋅ b → + 1 3 | b → | 2

| C P → | 2 = ( - c → + 1 3 b → ) ⋅ ( - c → + 1 3 b → ) = c → ⋅ c →   - 2 3 c → ⋅ b → + 1 9 b → ⋅ b → = | c → | 2 - 2 3 c → ⋅ b → + 1 9 | b → | 2

| Q B → | 2 = ( -   2 3 c → + b → ) ⋅ ( -   2 3 c → + b → ) = 4 9 c → ⋅ c →   - 4 3 c → ⋅ b → + b → ⋅ b → = 4 9 | c → | 2 - 4 3 c → ⋅ b → + | b → | 2

Até o momento, sabemos que | b → | = | c → | e que o ângulo entre esses dois vetores é 60 º , pois o triângulo é equilátero. Nesse caso, temos

c o s   60 ° = A B → ⋅ A C → | A B → | | A C → | ⇒   1 2 = b   → ⋅   c → | b → | | c → | ⇒ c → ⋅ b → = | b → | 2 2

Assim, ficamos com

C P → ⋅ Q B → = 2 3 | c → | 2 - 11 9 c → ⋅ b → + 1 3 | b → | 2 = 2 3 | b → | 2 - 11 9 | b → | 2 2 + 1 3 | b → | 2 = | b → | 2 ( 12 - 11 + 6 18 ) = 7 18 | b → | 2

| C P → | 2 = | c → | 2 - 2 3 c → ⋅ b → + 1 9 | b → | 2 = | b → | 2 - 2 3 | b → | 2 2 + 1 9 | b → | 2 = ( 9 - 3 + 1 ) 9 | b → | 2 = 7 9 | b → | 2

⇒ | C P | → = 7 9 | b → |

| Q B → | 2 = 4 9 | c → | 2 - 4 3 c → ⋅ b → + | b → | 2 = 4 9 | b → | 2 - 4 3 | b → | 2 2 + | b → | 2 = ( 4 - 6 + 9 ) 9 | b → | 2 = 7 9 | b → | 2

⇒ | Q B | → = 7 9 | b → |

Por fim, vamos descobrir o valor de θ :

c o s   θ = C P → ⋅ Q B → | C P → | | Q B → |   =   7 18 | b → | 2 7 9 | b → | 7 9 | b → |   =   7 18 | b → | 2 7 9 | b → | 2   =   7 18 ⋅ 9 7   =   1 2

Ou seja, c o s   θ =   1 2   implica que θ =   60 ° , pois

θ =   a r c c o s ( 1 2 )   =   60 °

Sucesso, não é mesmo?

Resposta

θ =   60 °