Em um triângulo A B C , N é ponto médio de A C ̄ , M é ponto médio de B C ̄ , X é tal que A M → =   M X → e Y é tal que B N → = N Y → . Demonstre, usando vetores, que X ,   Y e C são colineares.

Passo 1

Fala, galera! Para provar que X ,   Y e C são colineares, temos que mostrar que os vetores X C → e C Y → são paralelos, porque isso garante que todos os pontos estejam numa mesma linha. Vamos começar desenhando o triângulos e todos os pontos:

Como N é ponto médio de A C ̄ e M é ponto médio de B C ̄ , então podemos usar o resultado do Exercício Resolvido 3 do Capítulo 1 para escrever

A M → = 1 2 A B → + 1 2 A C →

B N → = 1 2 B A → + 1 2 B C → = - 1 2 A B → + 1 2 B C →

Seria mais conveniente escrever todos os vetores em termos de dois dos vetores de vértice do triângulo, por exemplo, A B → , A C → . Como B C → = B A → + A C → = - A B → + A C → , então

B N → = - 1 2 A B → + 1 2 B C → = - 1 2 A B → + 1 2 ( - A B → + A C → ) = - A B → + 1 2 A C →

Passo 2

Agora, vamos usar as informações A M → =   M X → e B N → = N Y → :

M X → = A M → = 1 2 A B → + 1 2 A C →

N Y → = B N → = - A B → + 1 2 A C →

Além disso,

M C → = 1 2 B C → = 1 2 ( - A B → + A C → )

C N → = 1 2 C A → = - 1 2 A C →

Então

X C → = X M → + M C → = - M X → + M C → = - 1 2 A B → - 1 2 A C → + 1 2 ( - A B → + A C → ) = - A B →

C Y → = C N → + N Y → = - 1 2 A C → - A B → + 1 2 A C → = - A B →

Como X C → = C Y → = - A B → , então concluímos que X ,   Y e C são colineares. Também podemos observar isso na figura:

Resposta

Veja a resolução acima.