No triângulo A B C , D é o ponto médio de B C ̄ . O ponto E está em A C ̄ e é tal que A E   → = m E C → . Calcule m de modo que os vetores D E → e B A → +   C A →   +   2 B C → sejam l.d..

Passo 1

A gente já sabe que D E → e B A → + C A → + 2 B C → serem l.d. significa que

D E → = a ( B A → + C A →   + 2 B C → )

Mas, podemos escrever

B C → = B A → + A C → = B A → - C → A

Então, ficamos com

D E → = a ( B A → + C A → + 2 B C → ) = a ( B A → + C A → + 2 ( B A → - C → A ) ) = a ( 3 B A → - C A →   )

Passo 2

Agora, vamos usar a informação A E   → = m E C → para escrever

A C   → = A E   → + E C   → = m E C → + E C → = ( m + 1 ) E C → ⇒ E C → = 1 ( m + 1 ) A C   →

Isso vai ser útil para reescrever D E → . Mas, além disso, temos que lembrar que D é o ponto médio de B C ̄ . Então, vamos ter

D E → = D C → + C E → = 1 2 B C → - E C → = 1 2 ( B A → + A C → ) - 1 ( m + 1 ) A C   → = 1 2 B A → + m + 1 - 2 2 ( m + 1 ) A C   →

D E → = 1 2 B A → + m - 1 2 ( m + 1 ) A C   → = 1 2 B A → - ( m - 1 ) 2 ( m + 1 ) C A   →

Agora, igualando com a expressão que nós conseguimos no Passo 1, ficamos com

a ( 3 B A → -   C A →   ) = 1 2 B A → - ( m - 1 ) 2 ( m + 1 ) C A   → ⇒ ( 3 a - 1 2 ) B A → + ( ( m - 1 ) 2 ( m + 1 ) - a ) C A   → = 0

Como B A → e C A   → são l.i. então cada coeficiente multiplicando os vetores deve ser nulo. Com isso, obtemos

3 a - 1 2 = 0 ⇒ a = 1 6

( m - 1 ) 2 ( m + 1 ) - a = 0 ⇒ ( m - 1 ) 2 ( m + 1 ) - 1 6 = 0

⇒ 3 ( m - 1 ) - ( m + 1 ) 6 ( m + 1 ) = 0 ⇒ 3 m - 3 - m - 1 6 ( m + 1 ) = 0

⇒ 2 m - 4 6 ( m + 1 ) = 0 ⇒ 2 m - 4 ⇒ m = 2

Resposta

m = 2