No triângulo A B C , X é tal que 2 A X →   =   X B → , C A →   =   a → e C B →   =   b → .

  1. Desenhe o triângulo A B C e coloque X na figura.
  2. Escreva C X → em função de a → e b →   .
  3. Sendo X D →   =   A C → , desenhe D e escreva D B → em função de a → e b → .

Passo 1

  1. O triângulo A B C pode ser qualquer triângulo que você preferir, então começamos com esse desenho.
  2. Depois, temos que localizar o ponto X na figura. Para isso, é útil fazer o seguinte cálculo:

    A B → = A X → + X B → = A X → + 2 A X → = 3 A X → ⇒ A X → = 1 3 A B →  

    A partir desse resultado, conseguimos ver que o ponto X está a um terço do segmento que liga A a B . O desenho então se torna:

    Passo 2

  3. Para responder esse item, temos que notar que
  4. C X → = C A → + A X → = C A → + 1 3 A B → = C A → + 1 3 ( A C → + C B → ) = C A → + 1 3 ( - C A → + C B → ) = 2 3 C A → + 1 3 C B →

    C X → = 2 3 a → + 1 3 b →

    onde usamos o resultado do item anterior A X → = 1 3 A B → e A B → = A C → + C B →

    Passo 3

  5. X D →   =   A C → e X está no segmento de A até B , a única alternativa restante é que D localizado próximo ao segmento entre B e C . Então, podemos escrever

X D →   = X B →   + B D → = X B →   - D B →    

⇒ D B → = X B → - X D →   = 2 3 A B → - A C →

onde usamos

A B → = A X → + X B → ⇒ X B → = A B → - 1 3 A B → = 2 3 A B →

Continuando aqui os nossos cálculos, obtemos

D B → = 2 3 A B → - A C → = 2 3 ( A C → + C B → ) - A C → = - 1 3 A C → + 2 3 C B → = 1 3 C A → + 2 3 C B → = 1 3 a → + 2 3 b →

Resposta

b) C X → = 2 3 a → + 1 3 b →

c) D B → = 1 3 a → + 2 3 b →