No triângulo A B C , temos B D →   =   1 3 B C →   , P é o ponto médio de B C ̄ , A Q → = λ A C → e A R → = ξ A B → .

  1. Calcule λ   de modo que P Q → e D A → sejam paralelos.
  2. Calcule ξ   de modo que P R → e D A → sejam paralelos.
  3. Escreva Q R → como combinação linear de D A → .

Passo 1

  1. Vamos começar notando que
  2. A C → = A Q → + Q C → = λ A C → + Q C → ⇒ Q C → = ( 1 - λ ) A C →

    P C → = 1 2 B C →

    B C → = B D → + D C →   =   1 3 B C → + D C → ⇒ D C → =   2 3 B C →

    Agora podemos calcular os vetores

    P Q → = P C → + C Q → = P C → - Q C → = 1 2 B C → - ( 1 - λ ) A C →

    D A → = D C → + C A → =   2 3 B C → - A C →

    Para que esses dois vetores sejam paralelos, um deve ser múltiplo do outro:

    P Q → = α D A → ⇒ 1 2 B C → - ( 1 - λ ) A C → = α 2 3 B C → - A C →

    ⇒ 1 2 - 2 α 3 B C → + ( λ - 1 + α ) A C → = 0 →

    Como B C → , A C → são l.i. então a equação acima só é satisfeita se os coeficientes multiplicando cada vetor forem nulos. Ou seja,

    1 2 - 2 α 3 = 0 ⇒ α = 3 4

    λ - 1 + α = 0 ⇒ λ - 1 + 3 4 = 0 ⇒ λ = 1 4

    Passo 2

  3. Nesse item vamos seguir um raciocínio similar ao do item anterior. Como
  4. A B → = A R → + R B → = ξ A B → + R B → ⇒ R B → = ( 1 - ξ ) A B →

    P B → = - B P → = - 1 2 B C →

    D B → = - B D → = - 1 3 B C →

    então,

    P R → = P B → + B R → = P B → - R B → = - 1 2 B C → - ( 1 - ξ ) A B →

    D A → = D B → + B A → = - 1 3 B C → - A B →

    Para que P R → e D A → sejam paralelos, devemos ter

    P R → = β D A → ⇒ - 1 2 B C → - ( 1 - ξ ) A B → = β - 1 3 B C → - A B →

    ⇒ β 3 - 1 2 B C → + ( ξ - 1 + β ) A B → = 0 →

    Novamente, os coeficientes devem ser nulos para que a equação seja válida:

    β 3 - 1 2 = 0 ⇒ β = 3 2

    ξ - 1 + β = 0 ⇒ ξ - 1 + 3 2 = 0 ⇒ ξ = - 1 2

    Passo 3

  5. Primeiramente, temos que notar que

Q R → = Q A → + A R → = Q R → = - A Q → + A R → = - λ A C → + ξ A B → = - 1 4 A C → - 1 2 A B → .

Lembra que lá no Passo 1 nós obtivemos D A → =   2 3 B C → - A C → ? Então vamos só substituir

B C → = B A → + A C → = - A B → + A C →

nessa expressão

D A → =   2 3 B C → - A C → = 2 3 ( - A B → + A C → ) - A C → = - 2 3 A B → - 1 3 A C → .

Para escrever Q R → como combinação linear de D A → basta fazer

Q R → = γ D A → ⇒ - 1 4 A C → - 1 2 A B → = γ - 2 3 A B → - 1 3 A C →

⇒ γ 3 - 1 4 A C → + 2 γ 3 - 1 2 A B → = 0 →

Seguindo o mesmo processo de antes, obtemos

γ 3 - 1 4 = 0 ⇒ γ = 3 4

Então,

Q R → = 3 4 D A →

Resposta

  1. λ = 1 4
  2. ξ = - 1 2
  3. Q R → = 3 4 D A →