Se o único autovalor de T   :   R 3     →   R 3   é 5, então (responda com > ou = 0, 1, 2, 3):

(a) dim Nuc(T − 3I) ; (b) dim Nuc(T + 5I) ; (c) dim Nuc(T − 5I) ;

Passo 1

Vamos facilitar essa resolução? Olha só, traduzindo o comando da questão, nós temos uma transformação linear T de dimensão R 3 , ou seja, poderia ter no máximo 3 autovalores distintos, porém a questão diz que há um único autovalor que é 5.

Até aqui tá moleza né? Os itens da questão estão literalmente perguntando qual a dimensão do núcleo se considerarmos autovalores diferentes. E pra saber qual é o autovalor dado, a gente vai comparar com a equação det(A−λI) que determina os autovalores.

Passo 2

  1. dim Nuc(T − 3I), comparando com a equação citada no passo 1, logo de cara a gente percebe que o 3 ocupa o lugar do λ, logo, ele é o autovalor. Sendo 3 diferente de 5, o ÚNICO autovalor de acordo com o comando, consequentemente a dimensão do núcleo é 0 de certeza. Então:
  2. d i m   N u c ( T   -   3 I ) = 0

    Passo 3

  3. dim Nuc(T + 5I), comparando com a equação citada no passo 1, logo de cara a gente percebe que o -5 ocupa o lugar do λ, logo, ele é o autovalor. Sendo -5 diferente de 5, o ÚNICO autovalor de acordo com o comando, consequentemente a dimensão do núcleo é 0 de certeza. Então:

d i m   N u c ( T + 5 I ) = 0

Passo 3

(c) dim Nuc(T - 5I), comparando com a equação citada no passo 1, logo de cara a gente percebe que o 5 ocupa o lugar do λ, logo, ele é o autovalor. O comando da questão mesmo disse que 5 é o ÚNICO autovalor, ou seja, a dimensão do núcleo pode assumir qualquer valor maior que 0. Então:

d i m   N u c T - 5 I > 0

Resposta

  1. = 0
  2. = 0
  3. > 0