a) Use a para achar .
b) Determine o domínio de .
c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de em .
d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
Passo 1
Faaaaaaaaaaaaaalaaa, galera. Tudo bem com vocês? Continuando aqui a nossa resolução de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar usando as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).
Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.
Passo 2
a) Vamos começar representando esta função como sendo um polinômio com expoente inteiro:
Usando , vamos encontrar que a derivada da função é
Passo 3
b) Temos uma função racional. Aqui, o domínio é o conjunto dos reais com exceção dos pontos onde a função é descontínua. O mesmo vale para a derivada. Assim, a derivada é descontínua em , logo o domínio será dado por
Passo 4
c) Para calcular a equação da reta tangente de em , vamos usar a seguinte equação
onde são as coordenadas do ponto e é a derivada da função no ponto . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de , vamos substituir nesse valor e descobrir o valor de :
Além disso, temos que e , então a equação que procuramos é
Passo 5
d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que
Certo, agora que temos o valor de , podemos encontrar substituindo esse valor de em , ou seja, a função inicial.
OBS.: Muito cuidado para não substituir na função da derivada, , isso é um erro muito comum em provas e pode diminuir bastante sua pontuação, então, sugiro que você entenda o que estamos fazendo aqui. Se houver alguma dúvida, releia a solução para que não haja dúvidas.
O valor de não pode ser calculado, ou seja, neste ponto a função tende ao infinito. Assim, a função não possui pontos onde a tangente vale zero.
Cabôsse!
Resposta
a)
b)
c)
d)
Nenhum