a) Use ( 3.12 ) a ( 3.15 ) para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f em P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = 9 x - 2 ;                       P ( 3   ,   25 )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaalaaa, galera. Tudo bem com vocês? Começando aqui essa nova bateria de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar usando as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Usando ( 3.12 ) , vamos encontrar que a derivada da função é

f ' x = 9

Passo 3

b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim

D = R

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como a função é do primeiro grau, sua derivada é o coeficiente angular, m . Além disso, temos que x 0 =   3 e y 0 = 25   , então a equação que procuramos é

y - 25 = 9 x - 3

⇒ y - 25 = 9 x - 27

⇒ y = 9 x - 27 + 25

∴ y = 9 x - 2

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

f ' x = 0

Mas f ' x = 9 , o que nos leva à seguinte igualdade

9 = 0

que é falsa, logo, nenhum valor de x satisfaz a equação. Além disso, sabemos que o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta. Como esta reta tem inclinação m = 9 , este será seu valor em toda a sua extensão, ou seja, em nenhum ponto ela terá seu valor nulo.

Assim, podemos ir pra próxima!

Resposta

a)

f ' x = 9

b)

D = R

c)

y = 9 x - 2

d)

Nenhum