a) Use ( 3.12 ) a ( 3.15 ) para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f em P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = π 2 ;                       P ( 5   ,   π 2 )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaalaaa, galera. Tudo bem com vocês? Continuando aqui a nossa resolução de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar usando as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Usando ( 3.13 ) , vamos encontrar que a derivada da função é

f ' x = 0

Passo 3

b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim

D = R

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como a função é do primeiro grau, sua derivada é o coeficiente angular, m . Além disso, temos que x 0 =   5 e y 0 = π 2   , então a equação que procuramos é

y - π 2 = 0 x - 5

⇒ y - π 2 = 0

∴ y = π 2

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. No entanto, a função é constante, ou seja, possui o mesmo valor em qualquer ponto. Assim, a derivada vale zero, o que satisfaz a equação para x . No entanto, não vamos encontrar um valor para y , logo não há pontos que satisfazem o que se pede.

Resposta

a)

f ' x = 0

b)

D = R

c)

y = π 2

d)

Nenhum