a) Use ( 3.12 ) a ( 3.15 ) para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f em P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = 12 x 1 / 3 ;                       P ( - 27   ,   - 36   )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaalaaa, galera. Tudo bem com vocês? Continuando aqui a nossa resolução de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar usando as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Usando ( 3.15 ) , vamos encontrar que a derivada da função é

f ' x = 12 ⋅ 1 3 ⋅ x 1 3 - 1

⇒ f ' x = 4 x - 2 / 3

∴ f ' x = 4 x 2 3

Passo 3

b) Temos que a derivada possui uma variável no denominador. Consequentemente, esse denominador deve ser diferente de zero o que nos leva a

x 2 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

Além disso, temos uma raiz cúbica, que não apresenta restrição. Assim, a única condição é apenas a do denominador, logo, o domínio da derivada é composto pelo conjunto dos reais com exceção do zero, que pode ser representado simbolicamente por

D = R - { 0 }

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de x , vamos substituir x 0 nesse valor e descobrir o valor de m :

m = f ' x 0 = f ' - 27 = 4 - 27 2 3 = 4 - 3 3 2 3 = 4 - 3 2

∴ m = 4 9

Além disso, temos que x 0 = - 27   e y 0 = - 36   , então a equação que procuramos é

y - - 36 = 4 9 x - - 27

⇒ y + 36 = 4 9 x + 27

⇒ y + 36 = 4 x 9 + 4 ⋅ 27 9

⇒ y + 36 = 4 x 9 + 4 ⋅ 3

⇒ y = 4 x 9 + 12 - 36

∴ y = 4 x 9 - 24

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

4 x 2 3 = 0 ⇒ x 2 / 3 = 4 0

Isso nos leva a uma indeterminação matemática. Assim, concluímos que não há nenhum ponto cuja tangente seja igual a zero.

E assim, terminamos esse conjunto de questões um pouco mais trabalhosas. Vamos partir para um novo tipo de exercícios. Avante!

Resposta

a)

f ' x = 4 x 2 3

b)

D = R - { 0 }

c)

y = 4 x 9 - 24

d)

Nenhum