a) Use a para achar .
b) Determine o domínio de .
c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de em .
d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
Passo 1
Faaaaaaaaaaaaaalaaa, galera. Tudo bem com vocês? Continuando aqui a nossa resolução de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar usando as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).
Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.
Passo 2
a) Usando , vamos encontrar que a derivada da função é
Passo 3
b) Temos que a derivada possui uma variável no denominador. Consequentemente, esse denominador deve ser diferente de zero o que nos leva a
Além disso, temos uma raiz cúbica, que não apresenta restrição. Assim, a única condição é apenas a do denominador, logo, o domínio da derivada é composto pelo conjunto dos reais com exceção do zero, que pode ser representado simbolicamente por
Passo 4
c) Para calcular a equação da reta tangente de em , vamos usar a seguinte equação
onde são as coordenadas do ponto e é a derivada da função no ponto . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de , vamos substituir nesse valor e descobrir o valor de :
Além disso, temos que e , então a equação que procuramos é
Passo 5
d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que
Isso nos leva a uma indeterminação matemática. Assim, concluímos que não há nenhum ponto cuja tangente seja igual a zero.
E assim, terminamos esse conjunto de questões um pouco mais trabalhosas. Vamos partir para um novo tipo de exercícios. Avante!
Resposta
a)
b)
c)
d)
Nenhum