a) Use ( 3.12 ) a ( 3.15 ) para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f em P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = 1 / x 4 ;                       P ( 1   ,   1 )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaalaaa, galera. Tudo bem com vocês? Continuando aqui a nossa resolução de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar usando as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a ) Vamos começar representando esta função como sendo um polinômio com expoente inteiro:

f x = x - 4

Usando ( 3.14 ) , vamos encontrar que a derivada da função é

f ' x = - 4 ⋅ x - 4 - 1

∴ f ' x = - 4 x - 5

Passo 3

b) Temos uma função racional. Aqui, o domínio é o conjunto dos reais com exceção dos pontos onde a função é descontínua. O mesmo vale para a derivada. Assim, a derivada é descontínua em x = 0 , logo o domínio será dado por

D = R - { 0 }

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de x , vamos substituir x 0 nesse valor e descobrir o valor de m :

m = f ' x 0 = f ' 1 = - 4 1 - 5 = - 4 ⋅ 1

∴ m = - 4

Além disso, temos que x 0 = 1   e y 0 = 1   , então a equação que procuramos é

y - 1 = - 4 x - 1

⇒ y - 1 = - 4 x + 4

⇒ y = - 4 x + 4 + 1

∴ y = - 4 x + 5

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

- 4 x - 5 = 0 ∴ x = 0

Certo, agora que temos o valor de x , podemos encontrar y substituindo esse valor de x em f ( x ) , ou seja, a função inicial.

OBS.: Muito cuidado para não substituir na função da derivada, f ' x , isso é um erro muito comum em provas e pode diminuir bastante sua pontuação, então, sugiro que você entenda o que estamos fazendo aqui. Se houver alguma dúvida, releia a solução para que não haja dúvidas.

f 0 = 1 0 4

O valor de f 0 não pode ser calculado, ou seja, neste ponto a função tende ao infinito. Assim, a função não possui pontos onde a tangente vale zero.

Assim, já podemos ir para a próxima questão!

Resposta

a)

f ' x = - 4 x - 5

b)

D = R - { 0 }

c)

y = - 4 x + 5

d)

Nenhum