a) Use ( 3.12 ) a ( 3.15 ) para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f em P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = 4 x 1 / 4 ;                       P ( 81   ,   12 )

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaaalaaa, galera. Tudo bem com vocês? Continuando aqui a nossa resolução de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar usando as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Usando ( 3.15 ) , vamos encontrar que a derivada da função é

f ' x = 4 ⋅ 1 4 ⋅ x 1 4 - 1

∴ f ' x = x - 3 4

Passo 3

b) A derivada é uma função racional. Ela pode ser expressa da seguinte maneira

f ' x = 1 x 3 / 4 Já sabemos que o denominador deve ser diferente de zero, logo

x 3 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

Além disso, temos que f ' ( x ) pode ser expressa na forma de radiciação da seguinte maneira:

f ' x = 1 x 3 4

Esse índice par da raiz indica que o radicando não pode ser negativo, uma vez que o resultado estará fora do conjunto dos complexos. Assim, os únicos valores que podem estar contidos no domínio de f ' ( x ) são os reais positivos, assim

D = R * +

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de x , vamos substituir x 0 nesse valor e descobrir o valor de m :

m = f ' x 0 = f ' 81 = 1 81 3 4 = 1 3 4 3 4 = 1 3 3

∴ m = 1 27

Além disso, temos que x 0 = 81   e y 0 = 12   , então a equação que procuramos é

y - 12 = 1 27 x - 81

⇒ y - 12 = x 27 - 81 27

⇒ y - 12 = x 27 - 3

⇒ y = x 27 - 3 + 12

∴ y = x 27 + 9

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

x - 3 / 4 = 0 ⇒ 1 x 3 / 4 = 0 ⇒ x 3 / 4 = 1 0

Isso nos leva a uma indeterminação matemática. Assim, concluímos que não há nenhum ponto cuja tangente seja igual a zero.

Pronto. Simbora pra próxima!

Resposta

a)

f ' x = x - 3 4

b)

D = R * +

c)

y = x 27 + 9

d)

Nenhum