a) Use a definição 3.5 para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = 3 x 2 - 2 x - 4 ;                       P ( 2 ,   4 )

Passo 1

Salve, salve, família. Continuando aqui essa bateria de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos a primeira: Vamos começar aplicando a definição à função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Antes de mais nada, vamos começar colocando aqui a definição 3.5

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Assim, vamos definir primeiro quem é f ( x + h ) . Para isso, basta substituir na função dada o x por x + h :

f x + h = 3 x + h 2 - 2 x + h - 4

⇒ f x + h = 3 x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x + h - 4

⇒ f x + h = 3 x 2 + 6 x h + 3 h 2 - 2 x - 2 h - 4

De posse desses valores, podemos usar a definição 3.5 :

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 6 x h + 3 h 2 - 2 x - 2 h - 4 - 3 x 2 - 2 x - 4 h

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ 6 x h + 3 h 2 - 2 h h

Podemos colocar o h em evidência no numerador:

f ' ( x ) = lim h → 0 ⁡ h [ 6 x + 3 h - 2 ] h

⇒ f ' x = lim h → 0 ⁡ 6 x + 3 h - 2

∴ f ' x = 6 x - 2

Passo 3

b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim

D = R

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de x , vamos substituir x 0 nesse valor e descobrir o valor de m :

m = f ' x 0 = f ' 2 = 6 2 - 2 = 12 - 2

∴ m = 10

Além disso, temos que x 0 = 2 e y 0 = 4 , então a equação que procuramos é

y - 4 = 10 x - 2

⇒ y - 4 = 10 x - 20

⇒ y = 10 x - 20 + 4

∴ y = 10 x - 16

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

6 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 6 ⇒ x = 1 3

Certo, agora que temos o valor de x , podemos encontrar y substituindo esse valor de x em f ( x ) , ou seja, a função inicial.

OBS.: Muito cuidado para não substituir na função da derivada, f ' x , isso é um erro muito comum em provas e pode diminuir bastante sua pontuação, então, sugiro que você entenda o que estamos fazendo aqui. Se houver alguma dúvida, releia a solução para que não haja dúvidas.

f 1 3 = 3 1 3 2 - 2 1 3 - 4

⇒ f 1 3 = 3 ⋅ 1 9 - 2 3 - 4

⇒ f 1 3 = 1 3 - 2 3 - 4

Vamos expressar 4 como sendo uma fração aparente cujo denominador é 3 : 4 = 12 / 3

f 1 3 = 1 3 - 2 3 - 12 3

⇒ f 1 3 = 1 - 2 - 12 3

∴ f 1 3 = - 13 3

Assim, o ponto em que a tangente é zero é 1 3 , - 13 3 .

Vamos pra próxima questão continuar o que começamos!

Resposta

a)

f ' x = 6 x - 2

b)

D = R

c)

y = 10 x - 16

d)

1 3 , - 13 3