a) Use a definição para achar .
b) Determine o domínio de .
c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
Passo 1
Salve, salve, família. Continuando aqui essa bateria de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos a primeira: Vamos começar aplicando a definição à função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).
Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.
Passo 2
a) Antes de mais nada, vamos começar colocando aqui a definição 3.5
Assim, vamos definir primeiro quem é . Para isso, basta substituir na função dada o por :
De posse desses valores, podemos usar a definição :
Podemos colocar o em evidência no numerador:
Passo 3
b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim
Passo 4
c) Para calcular a equação da reta tangente de em , vamos usar a seguinte equação
onde são as coordenadas do ponto e é a derivada da função no ponto . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de , vamos substituir nesse valor e descobrir o valor de :
Além disso, temos que e , então a equação que procuramos é
Passo 5
d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que
Certo, agora que temos o valor de , podemos encontrar substituindo esse valor de em , ou seja, a função inicial.
OBS.: Muito cuidado para não substituir na função da derivada, , isso é um erro muito comum em provas e pode diminuir bastante sua pontuação, então, sugiro que você entenda o que estamos fazendo aqui. Se houver alguma dúvida, releia a solução para que não haja dúvidas.
Vamos expressar como sendo uma fração aparente cujo denominador é
Assim, o ponto em que a tangente é zero é .
Vamos pra próxima questão continuar o que começamos!
Resposta
a)
b)
c)
d)