a) Use a definição 3.5 para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = x 3 + x ;                       P ( 1   ,   2 )

Passo 1

Salve, salve, família. Continuando aqui essa bateria de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar aplicando a definição à função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Antes de mais nada, vamos começar colocando aqui a definição 3.5

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Assim, vamos definir primeiro quem é f ( x + h ) . Para isso, basta substituir na função dada o x por x + h :

f x + h = x + h 3 + x

⇒ f x + h = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 + x + h

De posse desses valores, podemos usar a definição 3.5 :

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 + x + h - ( x 3 + x ) h

⇒ f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 + h h

Podemos colocar o h em evidência no numerador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 3 x 2 + 3 x h + h 2 + 1 h

⇒ f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 + 1

∴ f ' x = 3 x 2 + 1

Passo 3

b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim

D = R

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de x , vamos substituir x 0 nesse valor e descobrir o valor de m :

m = f ' x 0 = f ' 1 = 3 1 2 + 1 = 3 + 1

∴ m = 4

Além disso, temos que x 0 = 1 e y 0 = 2 , então a equação que procuramos é

y - 2 = 4 x - 1

⇒ y - 2 = 4 x - 4

⇒ y = 4 x - 4 + 2

∴ y = 4 x - 2

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

3 x 2 + 1 = 0 ⇒ 3 x 2 = - 1 ⇒ x = ± - 1 3

Como sabemos, essa raiz não possui um valor válido no conjunto dos números reais. Logo, podemos concluir que nenhum valor de x satisfaz essa equação. Consequentemente, não temos nenhum ponto em que a tangente é horizontal.

Vamos embora que agora as coisas estão começando a fazer sentido!

Resposta

a)

f ' x = 3 x 2 + 1

b)

D = R

c)

y = 4 x - 2

d)

Nenhum