a) Use a definição para achar .
b) Determine o domínio de .
c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.
Passo 1
Salve, salve, família. Continuando aqui essa bateria de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar aplicando a definição à função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).
Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.
Passo 2
a) Antes de mais nada, vamos começar colocando aqui a definição 3.5
Assim, vamos definir primeiro quem é . Para isso, basta substituir na função dada o por :
De posse desses valores, podemos usar a definição :
Podemos colocar o em evidência no numerador:
Passo 3
b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim
Passo 4
c) Para calcular a equação da reta tangente de em , vamos usar a seguinte equação
onde são as coordenadas do ponto e é a derivada da função no ponto . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de , vamos substituir nesse valor e descobrir o valor de :
Além disso, temos que e , então a equação que procuramos é
Passo 5
d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que
Como sabemos, essa raiz não possui um valor válido no conjunto dos números reais. Logo, podemos concluir que nenhum valor de satisfaz essa equação. Consequentemente, não temos nenhum ponto em que a tangente é horizontal.
Vamos embora que agora as coisas estão começando a fazer sentido!
Resposta
a)
b)
c)
d)
Nenhum