a) Use a definição 3.5 para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = - 5 x 2 + 8 x + 2 ;                       P ( - 1 , - 11 )

Passo 1

Salve, salve, família. Começando aqui uma nova bateria de questões e aqui vamos usar a definição de derivadas para calcular a derivada de uma função. Adianto que isto é algo que diz respeito apenas a esse capítulo. Mas, vamos lá!

Vamos começar aplicando a definição à função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Antes de mais nada, vamos começar colocando aqui a definição 3.5

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Assim, vamos definir primeiro quem é f ( x + h ) . Para isso, basta substituir na função dada o x por x + h :

f x + h = - 5 x + h 2 + 8 x + h + 2

Agora, vamos desenvolver:

f x + h = - 5 x 2 + 2 x h + h 2 + 8 x + h + 2

⇒ f x + h = - 5 x 2 - 10 x h - 5 h 2 + 8 x + 8 h + 2

De posse desses valores, podemos usar a definição 3.5 :

f ' x = lim h → 0 ⁡ - 5 x 2 - 10 x h - 5 h 2 + 8 x + 8 h + 2 - [ - 5 x 2 + 8 x + 2 ] h

⇒ f ' x = lim h → 0 ⁡ - 10 x h - 5 h 2 + 8 h h

Podemos colocar o h em evidência no numerador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h - 10 x - 5 h + 8 h

⇒ f ' x = lim h → 0 ⁡ - 10 x - 5 h + 8

∴ f ' x = - 10 x + 8

Passo 3

b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim

D = R

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de x , vamos substituir x 0 nesse valor e descobrir o valor de m :

m = f ' x 0 = f ' - 1 = - 10 - 1 + 8 = 10 + 8

∴ m = 18

Além disso, temos que x 0 = - 1 e y 0 = - 11 , então a equação que procuramos é:

y - - 11 = 18 x - - 1

⇒ y + 11 = 18 x + 1

⇒ y = 18 x + 18 - 11

∴ y = 18 x + 7

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

- 10 x + 8 = 0 ⇒ x = 8 10 ⇒ x = 4 5

Certo, agora que temos o valor de x , podemos encontrar y substituindo esse valor de x em f ( x ) , ou seja, a função inicial.

OBS.: Muito cuidado para não substituir na função da derivada, f ' x , isso é um erro muito comum em provas e pode diminuir bastante sua pontuação, então, sugiro que você entenda o que estamos fazendo aqui. Se houver alguma dúvida, releia a solução para que não haja dúvidas.

f 4 5 = - 5 4 5 2 + 8 4 5 + 2

⇒ f 4 5 = - 5 ⋅ 16 25 + 32 5 + 2

⇒ f 4 5 = - 16 5 + 32 5 + 2

Vamos expressar 2 como sendo uma fração aparente cujo denominador é 5 : 2 = 10 / 5

f 4 5 = - 16 5 + 32 5 + 10 5

⇒ f 4 5 = - 16 + 32 + 10 5

∴ f 4 5 = 26 5

Assim, o ponto em que a tangente é zero é 4 5 , 26 5 .

Ok, ok. Terminamos nossa primeira questão desta seção. Vamos para a próxima que tem a mesma “pegada” dessa.

Resposta

a)

f ' x = - 10 x + 8

b)

D = R

c)

y = 18 x + 7

d)

4 5 , 26 5