a) Use a definição 3.5 para achar f ' ( x ) .

b) Determine o domínio de f ' .

c) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P .

d) Determine os pontos do gráfico em que a tangente é horizontal.

f x = x 3 - 4 x ;                       P ( 2   ,   0 )

Passo 1

Salve, salve, família. Continuando aqui essa bateria de questões, vamos resolver essa questão da mesma maneira como fizemos anteriormente: Vamos começar aplicando a definição à função. Depois vamos encontrar o seu domínio. Vamos continuar pegando emprestada uma equação da geometria analítica para calcular a reta tangente e finalmente vamos usar a equação da derivada e igualá-la a zero para encontrarmos os pontos pedidos na letra d).

Sendo assim, vamos usar um passo para cada letra.

Passo 2

a) Antes de mais nada, vamos começar colocando aqui a definição 3.5

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Assim, vamos definir primeiro quem é f ( x + h ) . Para isso, basta substituir na função dada o x por x + h :

f x + h = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 4 ( x + h )

⇒ f x + h = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 4 x - 4 h

De posse desses valores, podemos usar a definição 3.5 :

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 4 x - 4 h - ( x 3 - 4 x ) h

⇒ f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 4 h h

Podemos colocar o h em evidência no numerador:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h [ 3 x 2 + 3 x h + h 2 - 4 ] h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 - 4

∴ f ' x = 3 x 2 - 4

Passo 3

b) Como a derivada de uma função polinomial é outra função polinomial, temos que o domínio continua sendo todo o conjunto dos reais, assim

D = R

Passo 4

c) Para calcular a equação da reta tangente de f em P , vamos usar a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto P e m é a derivada da função no ponto P . Como já conhecemos a derivada da função e ela varia em função de x , vamos substituir x 0 nesse valor e descobrir o valor de m :

m = f ' x 0 = f ' 2 = 3 2 2 - 4 = 3 ⋅ 4 - 4 = 12 - 4

∴ m = 8

Além disso, temos que x 0 = 2   e y 0 = 0   , então a equação que procuramos é

y - 0 = 8 x - 2

∴ y = 8 x - 16

Passo 5

d) Como dito no Passo 1, para encontrarmos os pontos nos quais a tangente é horizontal, vamos igualar a derivada a zero, visto que a derivada é numericamente igual a tangente no ponto. Assim, temos que

3 x 2 - 4 = 0 ⇒ 3 x 2 = 4 ⇒ x 2 = 4 3 ⇒ x = ± 4 3

⇒ x = ± 2 3 ⇒ x = ± 2 3 3

Certo, agora que temos os valores de x , podemos encontrar y substituindo esses valores de x em f ( x ) , ou seja, a função inicial.

OBS.: Muito cuidado para não substituir na função da derivada, f ' x , isso é um erro muito comum em provas e pode diminuir bastante sua pontuação, então, sugiro que você entenda o que estamos fazendo aqui. Se houver alguma dúvida, releia a solução para que não haja dúvidas.

f 1 - 2 3 3 = - 2 3 3 3 - 4 - 2 3 3

⇒ f 1 - 2 3 3 = - 2 3 ⋅ 3 3 3 3 + 8 3 3

⇒ f 1 - 2 3 3 = - 8 3 9 + 8 3 3

Multiplicando e dividindo 8 3 / 3 por 3 , temos que

f 1 - 2 3 3 = - 8 3 9 + 24 3 9

⇒ f 1 - 2 3 3 = - 8 3 + 24 3 9

∴ f 1 - 2 3 3 = 16 3 9

Para encontrarmos o segundo ponto valor de y , vamos ter que usar o segundo valor de x :

f 2 2 3 3 = 2 3 3 3 - 4 2 3 3

⇒ f 2 2 3 3 = 2 3 ⋅ 3 3 3 3 - 8 3 3

⇒ f 2 2 3 3 = 8 3 9 - 8 3 3

Multiplicando e dividindo 8 3 / 3 por 3 , temos que

f 2 2 3 3 = 8 3 9 - 24 3 9

⇒ f 2 2 3 3 = 8 3 - 24 3 9

⇒ f 2 2 3 3 = - 16 3 9

Assim, os pontos em que a tangente é zero são x 1   , f 1 e ( x 2   ,   f 2 ) , ou seja, - 2 3 3 , 16 3 9 e 2 3 3 ,   - 16 3 9 .

Terminamos esse primeiro bloco, mas já alcançamos o primeiro objetivo da seção. Vamos para o próximo bloco de questões, mas mantendo esse espírito em mente porque ele será muito útil para a resolução das próximas questões.

Resposta

a)

f ' x = 3 x 2 - 4

b)

D = R

c)

y = 8 x - 16

d)

- 2 3 3 , 16 3 9   e   2 3 3 ,   - 16 3 9