1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P ( a , f ( a ) ) .
  2. Determine a equação da tangente em P ( 2 , f ( 2 ) ) .

f x = x 3

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = x 3 na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ a + h 3 - ( a 3 ) h

    Segundo a fórmula do cubo perfeito, a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Analogamente, temos que

    = lim h  → 0 ⁡ a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 - ( a 3 ) h

    = lim h  → 0 ⁡ a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 - a 3 h

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 h

    Colocando em evidência o termo comum no numerador e eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ h ( 3 a 2 + 3 a h + h 2 ) h

    m a = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 + 3 a h + h 2

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 + 3 a h + h 2 = 3 a 2 + 3 a × 0 + 0 2 = 3 a 2 + 0 + 0

    m a = 3 a 2

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P ( a , f a ) , vamos substituir a = 2 na equação, logo

m a = 3 a 2 = 3 × 2 2 = 3 × 4

m a = 12

Resposta

a m a = 3 a 2

b m a = 12