1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P ( a , f ( a ) ) .
  2. Determine a equação da tangente em P ( 2 , f ( 2 ) ) .

f x = 3 x 2 - 4 x

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = 3 x 2 - 4 x na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ 3 a + h 2 - 4 a + h - ( 3 a 2 - 4 a ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 + 2 a h + h 2 - 4 a - 4 h - ( 3 a 2 - 4 a ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 3 a 2 + 6 a h + 3 h 2 - 4 a - 4 h - 3 a 2 + 4 a h

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ 6 a h + 3 h 2 - 4 h h

    Colocando em evidência o termo comum no numerador e eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ h ( 6 a + 3 h - 4 ) h

    m a = lim h  → 0 ⁡ 6 a + 3 h - 4

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 6 a + 3 h - 4 = 6 a + 3 × 0 - 4 = 6 a + 0 - 4

    m a = 6 a - 4

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P ( a , f a ) , vamos substituir a = 2 na equação, logo

m a = 6 a - 4 = 6 × 2 - 4 = 12 - 4

m a = 8

Resposta

a m a = 6 a - 4

b m a = 8