1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P ( a , f ( a ) ) .
  2. Determine a equação da tangente em P ( 2 , f ( 2 ) ) .

f x = 3 x + 2

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = 3 x + 2 na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ [ 3 a + h + 2 ] - ( 3 a + 2 ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 3 a + 3 h + 2 - 3 a - 2 h

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ 3 h h

    Simplificando a equação,

    m a = lim h  → 0 ⁡ 3

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 3

    Segundo uma das propriedades de limite, o limite de uma constante para qualquer valor de x é igual a própria constante, logo

    m a = 3

    Se analisando graficamente, será observado uma reta ortogonal ao eixo Y no ponto 3;

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P ( a , f a ) , vamos substituir a = 2 na equação, logo

m a = 3

Interpretando o resultado, concluímos que como obtivemos uma função constante cujo gráfico é uma reta horizontal, a sua tangente para todo o domínio é uma reta que possui inclinação nula em relação ao eixo x, portanto zero.

Resposta

a m a = 3

b m a = 3