1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P ( a , f ( a ) ) .
  2. Determine a equação da tangente em P ( 2 , f ( 2 ) ) .

f x = 3 - 2 x 2

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = 3 - 2 x 2 na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ 3 + 2 a + h 2 - ( 3 - 2 a 2 ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 3 - 2 a 2 + 2 a h + h 2 - ( 3 - 2 a 2 ) h

    = lim h  → 0 ⁡ 3 - 2 a 2 + 4 a h + 2 h 2 - 3 + 2 a 2 h

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ 4 a h + 2 h 2 h

    Colocando em evidência o termo comum no numerador e eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ h ( 4 a + 2 h ) h

    m a = lim h  → 0 ⁡ 4 a + 2 h

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 4 a + 2 h = 4 a + 2 × 0 = 4 a + 0

    m a = 4 a

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P ( a , f a ) , vamos substituir a = 2 na equação, logo

m a = 4 a = 4 × 2

m a = 8

Resposta

a m a = 4 a

b m a = 8