1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P ( a , f ( a ) ) .
  2. Determine a equação da tangente em P ( 2 , f ( 2 ) ) .

f x = x 4

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = x 4 na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ a + h 4 - ( a 4 ) h

    Para resolver o produto notável, podemos aplicar o teorema do binômio,

    a + b n = ∑ i = 1 n n i a ( n - i ) b i

    onde b = h e n = 4 . Também podemos simplificar a expressão em dois binômios conhecidos,

    a + b 4 = a + b 2 a + b 2

    Analogamente, temos que

    = lim h  → 0 ⁡ [ a + h 2 a + h 2 ] - ( a 4 ) h

    = lim h  → 0 ⁡ [ ( a 2 + 2 a h + h 2 ) ( a 2 + 2 a h + h 2 ) ] - ( a 4 ) h

    = lim h  → 0 ⁡ [ a 4 + 2 a 3 h + a 2 h 2 + 2 a 3 h + 4 a 2 h 2 + 2 a h 3 + a 2 h 2 + 2 a h 3 + h 4 ] - a 4 h

    = lim h  → 0 ⁡ a 4 + 4 a 3 h + 6 a 2 h 2 + 4 a h 3 + h 4 - a 4 h

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ 4 a 3 h + 6 a 2 h 2 + 4 a h 3 + h 4 h

    Colocando em evidência o termo comum no numerador e eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ h ( 4 a 3 + 6 a 2 h + 4 a h 2 + h 3 ) h

    m a = lim h  → 0 ⁡ 4 a 3 + 6 a 2 h + 4 a h 2 + h 3

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 4 a 3 + 6 a 2 h + 4 a h 2 + h 3

    = 4 a 3 + 6 a 2 × 0 + 4 a × 0 2 + 0 3 = 4 a 3 + 0 + 0 + 0

    m a = 4 a 3

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P ( a , f a ) , vamos substituir a = 2 na equação, logo

m a = 4 a 3 = 4 × 2 3 = 4 × 8

m a = 32

Resposta

a m a = 4 a 3

b m a = 32