1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto com coordenada -x. a .
  2. Estabeleça a equação da tangente em P .
  3. Esboce o gráfico da curva e da tangente em P .

y = x ;                           P ( 4,2 )

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = x na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ a + h - ( a ) h

    Observe que se substituirmos o valor de h na equação, o denominador será igual a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação. Para resolver este limite, contornando a indeterminação, vamos recorrer ao par conjugado da expressão que conte a raiz (do numerador).

    = lim h  → 0 ⁡ [ a + h - a ] ( a + h + a ) h ( a + h + a )

    = lim h  → 0 ⁡ a + h 2 - a 2 h ( a + h + a )

    = lim h  → 0 ⁡ a + h - a h ( a + h + a )

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ h h ( a + h + a )

    Simplificando a equação,

    = lim h  → 0 ⁡ 1 a + h + a

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 1 a + h + a = 1 a + 0 + a

    m a = 1 2 a

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P ( 4,2 ) , vamos substituir a = 4 na equação do coeficiente angular

m a = 1 2 a = 1 2 4 = 1 2 × 2

m a = 1 4

Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P ( 4,2 ) e coeficiente angular igual a m a = 1 4 .

y - y 0 = m a ( x - x 0 )

Substituindo os valores, temos que,

y - 2 = 1 4 ( x - 4 )

y - 2 = x 4 - 1

y = x 4 - 1 + 2

y = x 4 + 1

Passo 3

Para esboçar o gráfico da curva e da reta tangente em P é só escolher alguns pontos em x para encontrar valores em y e assim traçar a curva que está representada abaixo:

Resposta

a   m a = 1 2 a

b   y = x 4 + 1

c