1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto com coordenada -x. a .
  2. Estabeleça a equação da tangente em P .
  3. Esboce o gráfico da curva e da tangente em P .

y = x 3 ;                           P ( - 8 , - 2 )

Passo 1

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = x 3 na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ a + h 3 - ( a 3 ) h

    Observe que se substituirmos o valor de h na equação, o denominador será igual a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação. Para resolver este limite, contornando a indeterminação, vamos recorrer ao par conjugado da expressão que conte a raiz (do numerador). Sabendo que,

    a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

    Analogamente,

    = lim h  → 0 ⁡ a + h 3 - a 3 [ a + h 3 2 + a + h 3 a 3 + a 3 2 ] h [ a + h 3 2 + a + h 3 a 3 + a 3 2 ]

    = lim h  → 0 ⁡ a + h 3 3 - a 3 3 h [ a + h 3 2 + ( a + h ) a 3 + a 3 2 ]

    = lim h  → 0 ⁡ a + h - a h [ a + h 3 2 + ( a + h ) a 3 + a 3 2 ]

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ h h [ a + h 3 2 + ( a + h ) a 3 + a 3 2 ]

    Simplificando a equação,

    = lim h  → 0 ⁡ 1 a + h 3 2 + ( a + h ) a 3 + a 3 2

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ 1 a + h 3 2 + a + h a 3 + a 3 2

    = 1 a + 0 3 2 + a + 0 a 3 + a 3 2

    m a = 1 2 a 3 2 + a 2 3

    Sendo x 3 2 = x 2 3 , temos

    m a = 1 3 ( a 2 3 )

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P ( - 8 , - 2 ) , vamos substituir a = - 8 na equação do coeficiente angular

m a = 1 3 ( a 2 3 ) = 1 3 ( - 8 2 3 ) = 1 3 ( 64 ) 3 = 1 3 × 4

m a = 1 12

Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P ( - 8 , - 2 ) e coeficiente angular igual a m a = 1 12 .

y - y 0 = m a ( x - x 0 )

Substituindo os valores, temos que,

y - ( - 2 ) = 1 12 ( x - ( - 8 ) )

y + 2 = x 12 + 8 12

y = x 12 + 4 6 - 2

y = x 12 - 8 6

y = x 12 - 4 3

Passo 3

Para esboçar o gráfico da curva e da reta tangente em P é só escolher alguns pontos em x para encontrar valores em y e assim traçar a curva que está representada abaixo:

Resposta

a   m a = 1 3 a 2 3

b   y = x 12 - 4 3

c