1. Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto com coordenada -x. a .
  2. Estabeleça a equação da tangente em P .
  3. Esboce o gráfico da curva e da tangente em P .

y = 1 x 2 ;                           P 2 , 1 4

Passo 1

Primeiramente, gostaria de esclarecer que fizemos uma modificação no ponto P do enunciado. O motivo é bastante simples, se substituirmos o valor de x na equação dada, vamos obert y = 1 4 , ou seja, o ponto correto é P 2 , 1 4 , portanto o valor dado pelo livro P 2 , 1 2 não existe para a função y = 1 x 2 . Agora que estamos cientes desse detalhe, vamos seguir com a resolução do problema começando por uma breve revisão do conceito básico que está presente nesta questão.

Segundo a Definição (3.1), o coeficiente angular m a da tangente ao gráfico de uma função f em P ( a , f a ) é

m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

Desde que o limite exista.

Se o limite na Definição (3.1) não existe, então o coeficiente angular da tangente em P ( a , f a ) não é definido.

Esta é a definição formal da derivada da função f no ponto x = a . Ela representa o limite de uma sequência de coeficientes angulares de retas secantes que se aproximam da reta tangente em x = a .

Passo 2

Compreendendo a Definição (3.1), vamos resolver a questão.

  1. Iremos substituir x = a e f x = 1 x 2 na equação.
  2. m a = lim h  → 0 ⁡ f a + h - f a h

    = lim h  → 0 ⁡ 1 a + h 2 - 1 a 2 h

    Observe que se substituirmos o valor de h na equação, o denominador será igual a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação. Para resolver este limite, contornando a indeterminação, vamos simplificar o numerador,

    = lim h  → 0 ⁡ a 2 - a + h 2 a 2 a + h 2 × 1 h

    = lim h  → 0 ⁡ a 2 - ( a 2 + 2 a h + h 2 ) h a 2 a + h 2

    = lim h  → 0 ⁡ a 2 - a 2 - 2 a h - h 2 h a 2 a + h 2

    Eliminando os termos iguais,

    = lim h  → 0 ⁡ - 2 a h - h 2 h a 2 a + h 2

    Simplificando a equação,

    = lim h  → 0 ⁡ - h ( 2 a + h ) h a 2 a + h 2

    = lim h  → 0 ⁡ - ( 2 a + h ) a 2 a + h 2

    Para finalizar a letra (a), vamos substituir o valor de h na equação.

    m a = lim h  → 0 ⁡ - ( 2 a + h ) a 2 a + h 2 = - ( 2 a + 0 ) a 2 a + 0 2 = - 2 a a 2 a 2 = - 2 a a 4

    m a = - 2 a 3

    Passo 3

  3. Para encontrar a equação tangente no ponto P 2 , 1 4 , vamos substituir a = 2 na equação

m a = - 2 a 3 = - 2 2 3 = - 2 8

m a = - 1 4

Agora para encontrar a equação da tangente vamos utilizar a equação fundamental da reta que possui o ponto P 2 , 1 4 e coeficiente angular igual a m a = - 1 4 .

y - y 0 = m a ( x - x 0 )

Substituindo os valores, temos que,

y - 1 4 = - 1 4 ( x - 2 )

y - 1 4 = - x 4 + 2 4

y = - x 4 + 2 4 + 1 4

y = - x + 2 + 1 4

y = - x 4 + 3 4

Passo 3

Para esboçar o gráfico da curva e da reta tangente em P é só escolher alguns pontos em x para encontrar valores em y e assim traçar a curva que está representada abaixo:

Resposta

a   m a = - 2 a 3

b   y = - x 4 + 3 4

c