Use o Exercício 19 para mostrar que posto de ATA = posto de A. [Sugestão: ATA tem quantas colunas? Qual a relação disso com o posto de ATA?]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos assumir que A seja uma m × n matriz.

O objetivo é mostrar essa classificação A T A = p o s t o ⁡ A .

Primeiro fazemos N u l o   A = N u l o ⁡ A T A .

Então x ∈ N u l o   A , logo A x = 0 .

Multiplique à esquerda por A T

A T A x   = A T ( A x )   = A T 0   = 0

Assim, x ∈ N u l o   A T A .

Portanto, N u l o ⁡ A ⊆ N u l o   A T A .

Passo 2

Temos x então

A r A x   = A T ( A x )   = 0

Então isso A x ∈ N u l o ⁡ A T = C o l ⁡ ( A ) ⊥ .

Além disso A x ∈ C o l ⁡ ( A ) , segue isso

∥ A x ∥ 2   = A x ⋅ A x   = 0

Então isso ∥ A x ∥ = 0 e, portanto A x = 0 .

Assim, x ∈ N u l o ⁡ A .

Portanto, N u l A T A ⊆ N u l A .

Dos dois resultados acima, conclua que N u l o   A = N u l o   A T A .

Note que A T A é uma matriz n × n   então,

p o s t o ⁡ A r A   = n - d i m ⁡ N u l o ⁡ A T A   = n - d i m ⁡ ( N u l o ⁡ ( A ) )   = p o s t o ⁡ ( A )

Portanto, classificação A T A = p o s t o ⁡ A .

Resposta

Resposta nos passos.