Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos.

Passo 1

Vamos fazer uso do pacote GAAL disponibilizado pelo próprio autor no livro. Iremos fazer a primeira de modo mais detalhado e as próximas sairão mais rapidamente. A primeira equação que iremos trabalhar é a do problema 6.3.1., dada por 9 x 2 - 4 x y + 6 y 2 = 30 . Vamos declarar as nossas variáveis x e y e colocá-las num vetor que irá guardar o os seus valores

syms x y;

X=[x;y];

e também a matriz A dos coeficientes dos termos quadráticos

A = [ 9 , - 2 ; - 2,6 ] ;

Passo 2

Uma vez declaradas os termos da nossa equação precisamos dizer também ao computador como é a nossa expressão, a equação da nossa cônica. Para isso:

e x p r = s i m p l i f y ( X . ' * A * X - 30 )

esse termo acima nos diz que nossa equação é X T A X - 30 = 0 . Diagonalizando a matriz A e montando a matriz P com seus autovetores

[P,D]=diagonal(A)

Como precisaremos de um novo sistema de coordenadas x ' , y ' , vamos declará-lo e colocar as informações num vetor

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

escrevendo a nossa equação em termos das novas variáveis

expr=subst(expr,X,P*X1)

simplificando (dividindo por 30, que é o termo livre de variáveis)

expr=expr/30

Passo 3

Realizando agora o plot do gráfico

elipse(sqrt(6),sqrt(3),P)

obtemos

Passo 4

Agora que sabemos o processo para resolver, basta repetir para todas as outras equações.

Para o item 6.3.2.: 3 x 2 - 8 x y - 12 y 2 + 81 = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

A=[3,-4;-4,-12];

expr=simplify(X.’*A*X+81)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

expr=expr/81

hiperbx(9/sqrt(13),9/2,P)

obtemos o seguinte plot

Para o item 6.3.3.: 2 x 2 - 4 x y - y 2 = - 24

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

A=[2,-2;-2,-1];

expr=simplify(X.'*A*X+24)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

expr=expr/24

hiperbx(sqrt(12),sqrt(8),P)

e recebemos

Para o item 6.3.4.: 21 x 2 + 6 x y + 13 y 2 - 132 = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

A=[21,3;3,13];

expr=simplify(X.'*A*X-132)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

expr=expr/132

elipse(sqrt(11),sqrt(6),P)

e aparece na nossa tela:

Para o item 6.3.5.: 4 x 2 - 20 x y + 25 y 2 - 15 x - 6 y = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

A=[4,-10;-10,25];

K=[-15,-6];

expr=simplify(X.'*A*X+K*X)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

expr=expr/29

parabx(3/(4*sqrt(29)),P)

repare que também declaramos a matriz K, que nesse exemplo é não nula pois temos termos lineares nas variáveis x e y

Para o item 6.3.6.: 9 x 2 + y 2 + 6 x y - 10 10 x + 10 10 y + 90 = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

syms x2 y2;

X2=[x2;y2];

A=[9,3;3,1];

K=[-10*10^(1/2),10*10^(1/2)];

expr=simplify(X.'*A*X+K*X+90)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

expr=subst(expr,y1,y2+1)

expr=subst(expr,x1,x2+2)

expr=expr/10

parabx(1,P,[2;1])

Para o item 6.3.7.: 5 x 2 + 5 y 2 - 6 x y - 30 2 x + 18 2 y + 82 = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

syms x2 y2;

X2=[x2;y2];

A=[5,-3;-3,5];

K=[-30*(2)^(1/2),18*(2)^(1/2)];

expr=simplify(X.'*A*X+K*X+82)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

X0=[3;-3];

expr=subst(expr,X1,X2+X0)

expr=expr/8

elipse(2,1,P,X0)

o ponto X 0 = a , b em questão é o ponto que aparece ao completarmos o quadrado, na seguinte forma x ' - a 2 + y ' - a 2

Para o item 6.3.8.: 5 x 2 + 12 x y - 12 13 x = 36

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

syms x2 y2;

X2=[x2;y2];

A=[5,6;6,0];

K=[-12*(13)^(1/2),0];

expr=simplify(X.'*A*X+K*X-36)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

X0=[-3;2];

expr=subst(expr,X1,X2+X0)

expr=expr/36

hiperby(2,3,P,X0)

Para o item 6.3.9.: 6 x 2 + 9 y 2 - 4 x y - 4 5 x - 18 5 y = 5

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

syms x2 y2;

X2=[x2;y2];

A=[6,-2;-2,9];

K=[-4*5^(1/2),-18*5^(1/2)];

expr=simplify(X'*A*X+K*X-5)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

X0=[26/10;32/20];

expr=subst(expr,X1,X2+X0)

expr=expr*5/322

elipse(sqrt(322)/5,sqrt(161)/5,P,X0)

obtemos

Para o item 6.3.10.: x 2 - y 2 + 2 3 x y + 6 x = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

syms x2 y2;

X2=[x2;y2];

A=[1,3^(1/2);3^(1/2),-1];

K=[6,0];

expr=simplify(X.'*A*X+K*X)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

X0=[-3*3^(1/2)/4;-3/4];

expr=subst(expr,X1,X2+X0)

expr=expr*4/9

hiperby(3/sqrt(8),3/sqrt(8),P,X0)

Para o item 6.3.11.: 8 x 2 + 8 y 2 - 16 x y + 33 2 x - 31 2 y + 70 = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

syms x2 y2;

X2=[x2;y2];

A=[8,-8;-8,8];

K=[33*2^(1/2),-31*2^(1/2)];

expr=simplify(X.'*A*X+K*X+70)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

expr=subst(expr,y1,y2+2)

expr=subst(expr,x1,x2-3)

expr=expr/16

parabx(-1/32,P,[-3;2])

e aparece para nós

Para o item 6.3.12.: x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 10 x + 2 y + 9 = 0

syms x y;

X=[x;y];

syms x1 y1;

X1=[x1;y1];

syms x2 y2;

X2=[x2;y2];

A=[1,-3;-3,-7];

K=[10,2];

expr=simplify(X.'*A*X+K*X+9)

[P,D]=diagonal(A)

expr=subst(expr,X,P*X1)

X0=[1/10^(1/2);7/10^(1/2)];

expr=subst(expr,X1,X2+X0)

hiperby(4,1,P,X0, 'd')

Ufa! Finalmente terminamos todas as cônicas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)