Use o método do Exemplo 1 para achar a) S_1 , S_2 e S_3 .

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(sqrt(n + 1) + sqrt(n)) ( S u g e s t ã o : R a c i o n a l i z e o d e n o m i n a d o r . )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Essa questão vai utilizar alguns conceitos de convergência e divergência de séries infinitas, e utilizar a sugestão deste enunciado e racionalizar o denominador para simplificar a nossa vida, belezinha?

Passo 2

Vamos começar racionalizando este denominador, para isso vamos multiplicar em cima e embaixo por sqrt(n + 1) - sqrt(n) , se fizermos em cima e embaixo, é como se tivéssemos feito nada, então pode! Olha só:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(sqrt(n + 1) + sqrt(n)) (sqrt(n + 1) - sqrt(n))/(sqrt(n + 1) - sqrt(n)) = sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n + 1) - sqrt(n))/(n + 1 - n) = sum_(n = 1)^(oo) sqrt(n + 1) - sqrt(n)

Agora só precisamos utilizar essa nova expressão para calcular os termos da série pedidos. Bora lá!

Passo 3

Temos então que:

S_1 = sum_(n = 1)^1 sqrt(n + 1) - sqrt(n) = sqrt(2) - sqrt(1) = sqrt(2) - 1

S_2 = sum_(n = 1)^2 sqrt(n + 1) - sqrt(n) = sqrt(2) - sqrt(1) + sqrt(3) - sqrt(2) = sqrt(3) - sqrt(1) = sqrt(3) - 1

S_3 = sum_(n = 1)^3 sqrt(n + 1) - sqrt(n) = sqrt(3) - 1 + sqrt(4) - sqrt(3) = sqrt(4) - 1 = 2 - 1 = 1

Essa foi a primeira alternativa, vamos seguir para a próxima!

Resposta

a ) S_1 = sqrt(2) - 1 , S_2 = sqrt(3) - 1 , S_3 = sqrt(4) - 1 = 1