Use o método do Exemplo 1 para achar a) S_1 , S_2 e S_3 .

sum_(n = 1)^(oo) l n (n)/(n + 1)

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Essa questão vai utilizar alguns conceitos de convergência e divergência de séries infinitas, assim como neste caso em particular vai ser necessário utilizar algumas propriedades do logaritmo, belezinha?

Passo 2

Temos que a série infinita foi dada no enunciado e precisamos escrever os termos com n = 1 , n = 2 , e n = 3 . Portanto, temos:

S_1 = sum_(n = 1)^1 l n (n)/(n + 1) = l n (1)/(2) = - l n 2

Aqui eu usei a propriedade l n ( a^b ) = b l n a , para o próximo precisamos lembrar que l n ( a // b ) = l n a - l n b , saca só:

S_2 = sum_(n = 1)^2 l n (n)/(n + 1) = - l n 2 + l n (2)/(3) = - l n 2 + l n 2 - l n 3 = - l n 3

S_3 = sum_(n = 1)^3 l n (n)/(n + 1) = - l n 3 + l n (3)/(4) = - l n 3 + l n 3 - l n 4 = - l n 4

Essa foi a primeira alternativa, vamos seguir para a próxima!

Resposta

a ) S_1 = - l n 2 , S_2 = - l n 3 , S_3 = - l n 4