Use o método do Exemplo 1 para achar ( b ) S_n ;

sum_(n = 1)^(oo) (5)/(( 5 n + 2 ) ( 5 n + 7 ))

Passo 1

Vamos continuar agora com a alternativa b), belezinha?

Nós temos que utilizar a_n dado no enunciado como para tentar identificar uma expressão para a soma dos n termos, note que:

a_n = (5)/(( 5 n + 2 ) ( 5 n + 7 ))

Nós podemos reescrever esta expressão utilizando frações parciais, saca só:

(5)/(( 5 n + 2 ) ( 5 n + 7 )) = (A)/(( 5 n + 2 )) + (B)/(( 5 n + 7 )) -> 5 = A ( 5 n + 7 ) + B ( 5 n + 2 )

Selecionando os coeficientes em potências de n , por exemplo, todos os termos com n^1 = n , devem ser iguais dos dois lados, e todos os termos com coeficiente n^0 = 1 devem ser iguais de ambos os lados, ou seja:

5 = 7 A + 2 B ( 1 )

0 = 5 A + 5 B -> A = - B ( 2 )

Usando (2) em (1), temos:

5 = 7 A - 2 A -> 5 = 5 A -> A = 1

e, portanto, B = - 1 , temos então que:

a_n = (1)/(( 5 n + 2 )) - (1)/(( 5 n + 7 ))

Okay, no próximo passo vamos utilizar isso para identificar a relação para o S_n , beleza?

Passo 2

Observe que:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n

Portanto, temos que:

S_n = ( (1)/(7) - (1)/(12) ) + ( (1)/(12) - (1)/(17) ) + ( (1)/(17) - (1)/(22) ) + ( (1)/(22) - (1)/(27) ) + . . . + (1)/(( 5 n + 2 )) - (1)/(( 5 n + 7 ))

Note que com exceção dos termo 1 // 7 no primeiro parênteses todos os outros termos consecutivamente vão se anulando de forma que temos no final o seguinte:

S_n = (1)/(7) + (1)/(( 5 n + 7 )) = (5 n + 7 + 7)/(7 ( 5 n + 7 )) = (5 n + 14)/(7 ( 5 n + 7 ))

Esta é a resposta da alternativa b). Bora para a última alternativa!

Resposta

Ao longo do passo 2.