Enunciado

Use o método do Exemplo 1 para achar ( b ) S_n ;

sum_(n = 1)^(oo) l n (n)/(n + 1)

Passo 1

Vamos continuar agora com a alternativa b), belezinha?

Nós temos que utilizar a_n dado no enunciado como para tentar identificar uma expressão para a soma dos n termos, note que:

a_n = l n (n)/(n + 1)

Vamos expandir termos dessa soma e tentar identificar uma expressão para a nossa soma, bora lá!

Passo 2

Observe que:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n

Portanto, temos que:

S_n = l n 1 // 2 + l n 2 // 3 + l n 3 // 4 + . . . + l n (n)/(n + 1) =

= - l n 2 + l n 2 - l n 3 + l n 3 - l n 4 + . . . + l n n - l n ( n + 1 )

Note que sempre temos que o termo de l n n corta o termo de l n n - 1 , que foi obtido no termo anterior, restando apenas o termo de - l n n + 1 , portanto temos que:

S_n = - l n ( n + 1 )

Esta é a resposta da alternativa b). Bora para a última alternativa!

Resposta

S_n = - l n n + 1