Enunciado

Use o método do Exemplo 1 para achar ( b ) S_n ;

sum_(n = 1)^(oo) - (2)/(( 2 n + 5 ) ( 2 n + 3 ))

Passo 1

Vamos continuar agora com a alternativa b), belezinha?

Nós temos que utilizar a_n dado no enunciado como para tentar identificar uma expressão para a soma dos n termos, note que:

a_n = - (2)/(( 2 n + 5 ) ( 2 n + 3 ))

Nós podemos reescrever esta expressão utilizando frações parciais, saca só:

- (2)/(( 2 n + 5 ) ( 2 n + 3 )) = (A)/(( 2 n + 5 )) + (B)/(( 2 n + 3 )) -> - 2 = A ( 2 n + 3 ) + B ( 2 n + 5 )

Selecionando os coeficientes em potências de n , por exemplo, todos os termos com n^1 = n , devem ser iguais dos dois lados, e todos os termos com coeficiente n^0 = 1 devem ser iguais de ambos os lados, ou seja:

- 2 = 3 A + 5 B ( 1 )

0 = 2 A + 2 B -> A = - B ( 2 )

Usando (2) em (1), temos:

- 2 = 3 A - 5 A -> - 2 = - 2 A -> A = 1

e, portanto, B = - 1 , temos então que:

a_n = (1)/(( 2 n + 5 )) - (1)/(( 2 n + 3 ))

Okay, no próximo passo vamos utilizar isso para identificar a relação para o S_n , beleza?

Passo 2

Observe que:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n

Portanto, temos que:

S_n = ( (1)/(7) - (1)/(5) ) + ( (1)/(9) - (1)/(7) ) + ( (1)/(11) - (1)/(9) ) + . . . + (1)/(( 2 n + 5 )) - (1)/(( 2 n + 3 ))

Note que com exceção do termo - 1 // 5 no primeiro parênteses todos os outros termos consecutivamente vão se anulando de forma que temos no final o seguinte:

S_n = - (1)/(5) + (1)/(( 2 n + 5 )) = (5 - 2 n - 5)/(5 ( 2 n + 5 )) = - (2 n)/(5 ( 2 n + 5 ))

Esta é a resposta da alternativa b). Bora para a última alternativa!

Resposta

Ao longo do passo 2.