Use o método do Exemplo 1 para achar ( b ) S_n ;

sum_(n = 1)^(oo) (- 1)/(9 n^2 + 3 n - 2)

Passo 1

Vamos continuar agora com a alternativa b), belezinha?

Nós temos que utilizar a_n dado no enunciado como para tentar identificar uma expressão para a soma dos n termos, note que:

a_n = (- 1)/(9 n^2 + 3 n - 2)

Nós podemos reescrever esta expressão utilizando frações parciais, bora lá!

Passo 2

Primeiro precisamos utilizar de algumas relações de produtos notáveis para deixar o denominador um pouquinho mais agradável aos olhos, saca só:

a_n = (- 1)/(9 n^2 + 3 n - 2) = (- 1)/(( 3 n + 2 ) ( 3 n - 1 ))

Agora, com isso em mãos podemos escrever:

(- 1)/(( 3 n + 2 ) ( 3 n - 1 )) = (A)/(( 3 n + 2 )) + (B)/(( 3 n - 1 )) -> - 1 = A ( 3 n - 1 ) + B ( 3 n + 2 )

Selecionando os coeficientes em potências de n , por exemplo, todos os termos com n^1 = n , devem ser iguais dos dois lados, e todos os termos com coeficiente n^0 = 1 devem ser iguais de ambos os lados, ou seja:

- 1 = - A + 2 B ( 1 )

0 = 3 A + 3 B -> A = - B ( 2 )

Usando (2) em (1), temos:

- 1 = - A - 2 A -> - 1 = - 3 A -> A = 1 // 3

e, portanto, B = - 1 // 3 , temos então que:

a_n = (1)/(3 ( 3 n + 2 )) - (1)/(3 ( 3 n - 1 ))

Okay, no próximo passo vamos utilizar isso para identificar a relação para o S_n , beleza?

Passo 3

Observe que:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n

Portanto, temos que:

S_n = ( (1)/(15) - (1)/(6) ) + ( (1)/(24) - (1)/(15) ) + ( (1)/(33) - (1)/(24) ) + . . . + (1)/(3 ( 3 n + 2 )) - (1)/(3 ( 3 n - 1 ))

Note que com exceção dos termo - 1 // 6 no primeiro parênteses todos os outros termos consecutivamente vão se anulando de forma que temos no final o seguinte:

S_n = - (1)/(6) + (1)/(3 ( 3 n + 2 )) = (- 9 n - 6 + 6)/(18 ( 3 n + 2 )) = (- n)/(2 ( 3 n + 2 ))

Esta é a resposta da alternativa b). Bora para a última alternativa!

Resposta

S_n = (- n)/(2 ( 3 n + 2 ))