Use o método do Exemplo 1 para achar ( b ) S_n ;

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(sqrt(n + 1) + sqrt(n)) ( S u g e s t ã o : R a c i o n a l i z e o d e n o m i n a d o r . )

Passo 1

Vamos continuar agora com a alternativa b), belezinha?

Nós temos que utilizar a_n dado no enunciado, mas vamos utilizar a racionalização que fizemos na última alternativa, okay? Ou seja:

a_n = sqrt(n + 1) - sqrt(n)

Vamos expandir termos dessa soma e tentar identificar uma expressão para a nossa soma, bora lá!

Passo 2

Observe que:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n

Portanto, temos que:

S_n = sqrt(2) - sqrt(1) + sqrt(3) - sqrt(2) + sqrt(4) - sqrt(3 ) + . . . + sqrt(n + 1) - sqrt(n)

Note que sempre temos que o termo de sqrt(n) corta com o termo de sqrt(n + 1) anterior , com exceção o termo de - sqrt(1) = - 1 , portanto temos:

S_n = sqrt(n + 1) - 1

Esta é a resposta da alternativa b). Bora para a última alternativa!

Resposta

S_n = sqrt(n + 1) - 1