Use o método do Exemplo 1 para achar ( b ) S_n ;

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(4 n^2 - 1)

Passo 1

Vamos continuar agora com a alternativa b), belezinha?

Nós temos que utilizar a_n dado no enunciado como para tentar identificar uma expressão para a soma dos n termos, note que:

a_n = (1)/(4 n^2 - 1)

Nós podemos reescrever esta expressão utilizando frações parciais, nós temos que:

a_n = (1)/(4 n^2 - 1) = (1)/(( 2 n + 1 ) ( 2 n - 1 ))

Portanto, podemos fazer o seguinte:

(1)/(( 2 n + 1 ) ( 2 n - 1 )) = (A)/(( 2 n + 1 )) + (B)/(( 2 n - 1 )) -> 1 = A ( 2 n - 1 ) + B ( 2 n + 1 )

Selecionando os coeficientes em potências de n , por exemplo, todos os termos com n^1 = n , devem ser iguais dos dois lados, e todos os termos com coeficiente n^0 = 1 devem ser iguais de ambos os lados, ou seja:

1 = - A + B ( 1 )

0 = 2 A + 2 B -> A = - B ( 2 )

Usando (2) em (1), temos:

1 = - A - A -> 1 = - 2 A -> A = - 1 // 2

e, portanto, B = + 1 // 2 , temos então que:

a_n = - (1)/(2 ( 2 n + 1 )) + (1)/(2 ( 2 n - 1 ))

Okay, no próximo passo vamos utilizar isso para identificar a relação para o S_n , beleza?

Passo 2

Observe que:

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + . . . + a_n

Portanto, temos que:

S_n = ( - (1)/(6) + (1)/(2) ) + ( - (1)/(10) + (1)/(6) ) + ( - (1)/(14) + (1)/(10) ) + . . . - (1)/(2 ( 2 n + 1 )) + (1)/(2 ( 2 n - 1 ))

Note que com exceção dos termo 1 // 2 no primeiro parênteses todos os outros termos consecutivamente vão se anulando de forma que temos no final o seguinte:

S_n = (1)/(2) - (1)/(2 ( 2 n + 1 )) = (1)/(2) ( (2 n + 1 - 1)/(( 2 n + 1 )) ) = (n)/(2 n + 1)

Esta é a resposta da alternativa b). Bora para a última alternativa!

Resposta

Ao longo do passo 2.