Use o método do Exemplo 3 para obter uma representação em série de ln ⁡ ( 3 + 2 x ) .

Passo 1

Falaaa, como vai?? Vou deixar explicado o método ao qual o enunciado se refere.

Primeiro passo é encontrar a derivada da função.

d d x f x

Após isso, tentamos colocar a função na forma geométrica:

a 1 - r

Se for possível, então a fórmula da série é:

a 1 + r + r 2 + …

Depois é só representarmos ela em série de potência. Vamos lá!!

Passo 2

A função que o enunciado nos dá é:

f x = ln ⁡ ( 3 + 2 x )

Derivando.

f ' x = 2 3 + 2 x

Colocando na forma do método definido no passo 1.

f ' x = 2 3 1 - - 2 3 x

Então, a = 2 / 3 e r = - 2 / 3 e a série da função é representada por:

2 3 1 - 2 3 x + - 2 3 x 2 + …

E a representação em série de potências é:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 3 n + 1 x n

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 3 n + 1 x n