Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.

lim k   →   4 ⁡ k 2 - 16 k - 2

Passo 1

Antes de definirmos limite, devemos lembrar o conceito de continuidade. Uma função f é dita contínua em um ponto a do seu domínio se o gráfico dela não apresenta saltos neste ponto a . O gráfico ( a ) mostra um exemplo de uma função contínua, enquanto que o gráfico ( b ) mostra um exemplo de uma função que apresenta descontinuidade no ponto a .

De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

As setas indicam que à medida que δ (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de ε (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo δ estiver de a , mais próximo ε estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de δ tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

lim x  → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que:

lim x  → a ⁡ f ( x ) = L

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Observe que se substituirmos o valor de k na equação, tanto o numerador como o denominador serão iguais a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação do tipo zero sobre zero.

Para resolver este limite, contornando a indeterminação, devemos recorrer ao par conjugado da expressão que conte a raiz (do denominador).

lim k  →   4 ⁡ k 2 - 16 k - 2

lim k  →   4 ⁡ ( k 2 - 16 ) ( k + 2 ) ( k - 2 ) ( k + 2 )

lim k  →   4 ⁡ ( k 2 - 16 ) ( k + 2 ) k 2 - 2 2

Podemos fatorar o termo ( k 2 - 16 ) para uma melhor simplificação

lim k  →   4 ⁡ ( k - 4 ) ( k + 4 ) ( k + 2 ) k - 4

lim k  →   4 ⁡ ( k + 4 ) ( k + 2 )

Passo 3

Após feitas as simplificações possíveis, iremos substituir o valor de k na equação.

lim k  →   4 ⁡ ( k + 4 ) ( k + 2 ) = 4 + 4 4 + 2 = 8 2 + 2 = 8 × 4 = 32

Resposta

32