Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.

lim h  →   0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Passo 1

Antes de definirmos limite, devemos lembrar o conceito de continuidade. Uma função f é dita contínua em um ponto a do seu domínio se o gráfico dela não apresenta saltos neste ponto a . O gráfico ( a ) mostra um exemplo de uma função contínua, enquanto que o gráfico ( b ) mostra um exemplo de uma função que apresenta descontinuidade no ponto a .

De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

As setas indicam que à medida que δ (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de ε (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo δ estiver de a , mais próximo ε estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de δ tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

lim x  → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que:

lim x  → a ⁡ f ( x ) = L

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Observe que se substituirmos o valor de h na equação, o denominador será igual a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação que tende ao infinito.

lim h  →   0 ⁡ 1 h = 1 0 = ∞ - ∞

Para resolver este limite, contornando a indeterminação, devemos calcular o produto notável (do numerador).

lim h  →   0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

lim h  →   0 ⁡ [ x + h x + h 2 ] - x 3 h

lim h  →   0 ⁡ [ x + h ( x 2 + 2 x h + h 2 ) ] - x 3 h

lim h  →   0 ⁡ [ x 3 + 2 x 2 h + x h 2 + x 2 h + 2 x h 2 + h 3 ] - x 3 h

lim h  →   0 ⁡ [ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 ] - x 3 h

Vamos eliminar o fator comum,

lim h  →   0 ⁡ 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h

Colocando em evidência o fator comum,

lim h  →   0 ⁡ h ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) h

Eliminando o fator comum,

lim h  →   0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2

Passo 3

Após feitas as simplificações possíveis, iremos substituir o valor de h na equação.

lim h  →   0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 = 3 x 2 + 3 x × 0 + 0 2 = 3 x 2

Resposta

3 x 2