Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.

lim r  →   - 3 ⁡ r 2 + 2 r - 3 r 2 + 7 r + 12

Passo 1

Antes de definirmos limite, devemos lembrar o conceito de continuidade. Uma função f é dita contínua em um ponto a do seu domínio se o gráfico dela não apresenta saltos neste ponto a . O gráfico ( a ) mostra um exemplo de uma função contínua, enquanto que o gráfico ( b ) mostra um exemplo de uma função que apresenta descontinuidade no ponto a .

De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

As setas indicam que à medida que δ (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de ε (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo δ estiver de a , mais próximo ε estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de δ tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

lim x  → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que:

lim x  → a ⁡ f ( x ) = L

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Iremos primeiro fatorar o numerador ( r 2 + 2 r - 3 ) . Pelo método da decomposição, vamos identificar todos os possíveis fatores dos termos a e c e os utilizar para descobrir quais devem ser os fatores adequados. Primeira etapa é multiplicar os termos a e c .

1 × - 3 = - 3

Segunda etapa é fatorar o valor “ - 3 ” para encontrar dois valores que somados sejam iguais ao termo b . O resultado da multiplicação é um valor primo, logo seus fatores são { 1,3 } , os próprios termos a e c .

Como o valor é negativo, os fatores devem ter sinais opostos. Assim, a nossa tabela de possibilidades comparando a soma deles com o termo b é

- 3 1 - 3 ≠ 2 - 1 + 3 = 2

Agora que encontramos os fatores, vamos inseri-los na equação original

r 2 + 2 r - 3

r 2 + 3 r - r - 3

Organizando a equação de modo que possamos fatorar o maior fator comum dos dois primeiros e dos dois últimos termos. Ambos os grupos fatorados devem ser iguais. O máximo fator comum dos dois pares é

r r + 3 - 1 r + 3

Fazendo o agrupamento,

r + 3 r - 1

Passo 3

Devemos fatorar também o denominador ( r 2 + 7 r + 12 ) . Seguindo a mesma linha de raciocínio para o fatoramento do numerador, vamos multiplicar os termos a e c .

1 × 12 = 12

Segunda etapa é fatorar o valor “ 12 ” para encontrar dois valores que somados sejam iguais ao termo b . Temos que seus fatores são { 2,2 , 3 } .Como o valor é positivo, os fatores devem ter sinais iguais. Assim, a nossa tabela de possibilidades comparando a soma deles com o termo b é

12 2 + 6 ≠ 7 4 + 3 = 7

Agora que encontramos os fatores, vamos inseri-los na equação original

r 2 + 7 r + 12

r 2 + 4 r + 3 r + 12

Organizando a equação de modo que possamos fatorar o maior fator comum dos dois primeiros e dos dois últimos termos. Ambos os grupos fatorados devem ser iguais. O máximo fator comum dos dois pares é

r r + 4 + 3 r + 4

Fazendo o agrupamento,

r + 4 r + 3

Passo 4

Próximo passo é inserir o numerador e denominador fatorados no limite e eliminar o fator comum.

lim r  →   - 3 ⁡ r 2 + 2 r - 3 r 2 + 7 r + 12

lim r  →   - 3 ⁡ ( r + 3 ) ( r - 1 ) ( r + 4 ) ( r + 3 )

lim r  →   - 3 ⁡ r - 1 r + 4

Passo 5

Após feitas as simplificações possíveis, iremos substituir o valor de r na equação.

lim r  →   - 3 ⁡ r - 1 r + 4 = - 3 - 1 - 3 + 4 = - 4 1 = - 4

Neste caso, é possível calcular o limite porque o denominador é diferente de zero. Caso contrário, o limite tende ao infinito, logo o limite não existe.

Resposta

- 4