Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.

lim z → 5 ⁡ z - 5 z 2 - 10 z + 25

Passo 1

Show de bola, galera! Nessa questão, vamos perceber que substituir diretamente na função o valor da variável no ponto em que estamos querendo analisar vai nos levar a uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Assim, vamos ter que manipular a função para contornarmos esse problema.

Passo 2

Vamos começar analisando o denominador. Fazendo mentalmente o “quadrado da soma de dois termos”, podemos perceber que ele pode ser escrito como

z 2 - 10 z + 25 = z 2 - 2 ⋅ 5 ⋅ z + 5 2 = z - 5 2 = ( z - 5 ) ( z - 5 )

Assim, podemos escrever a fração como sendo

z - 5 z 2 - 10 z + 25 = z - 5 ( z - 5 ) ( z - 5 ) = 1 z - 5

Passo 3

Agora com a função simplificada, podemos calcular o limite. Assim:

lim z → 5 ⁡ z - 5 z 2 - 10 z + 25 = lim z → 5 ⁡ 1 z - 5 = 1 5 - 5 = 1 0

∴ lim z → 5 ⁡ z - 5 z 2 - 10 z + 25 = ∞

Só lembrando que esta notação de igualdade na resposta é meio que uma convenção nos livros-texto. Para sermos rigorosos, deveríamos colocar uma seta, , para representar que a função “tende ao” infinito.

Show! Partiu próxima questão.

Resposta

lim z → 5 ⁡ z - 5 z 2 - 10 z + 25 = ∞