Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.

lim h → 2 ⁡ h 3 - 8 h 2 - 4

Passo 1

Show de bola, galera! Nessa questão, vamos perceber que substituir diretamente na função o valor da variável no ponto em que estamos querendo analisar vai nos levar a uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Assim, vamos ter que manipular a função para contornarmos esse problema.

Passo 2

Vamos começar expressando o numerador como sendo a soma de dois cubos. Assim,

h 3 - 8 = h 3 - 2 3

Agora, vamos nos lembrar da seguinte expansão

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Então, podemos escrever o numerador como sendo

h 3 - 2 3 = ( h - 2 ) ( h 2 + 2 h + 2 2 )

Além disso, vamos escrever o denominador como sendo

h 2 - 4 = h 2 - 2 2

Esse produto notável é bastante conhecido como “produto da soma pela diferença” e a forma geral dele é

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

Então, podemos escrever o denominador como sendo

h 2 - 2 2 = ( h - 2 ) ( h + 2 )

Passo 3

Uma vez que temos o numerador e denominador detalhados, podemos expressar a fração e fazer a simplificação:

h 3 - 2 3 h 2 - 2 2 = ( h - 2 ) ( h 2 + 2 h + 2 2 ) ( h - 2 ) ( h + 2 ) = h 2 + 2 h + 4 h + 2

Agora com a função simplificada, podemos calcular o limite. Assim:

lim h → 2 ⁡ h 3 - 8 h 2 - 4 = lim h → 2 ⁡ h 2 + 2 h + 4 h + 2 = 2 2 + 2 ⋅ 2 + 4 2 + 2 = 4 + 4 + 4 4 = 12 4

∴ lim h → 2 ⁡ h 3 - 8 h 2 - 4 = 3

Mais uma questão pra conta! Próximo!

Resposta

lim h → 2 ⁡ h 3 - 8 h 2 - 4 = 3