Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe.

lim x   →   25 ⁡ x - 5 x - 25

Passo 1

Antes de definirmos limite, devemos lembrar o conceito de continuidade. Uma função f é dita contínua em um ponto a do seu domínio se o gráfico dela não apresenta saltos neste ponto a . O gráfico ( a ) mostra um exemplo de uma função contínua, enquanto que o gráfico ( b ) mostra um exemplo de uma função que apresenta descontinuidade no ponto a .

De forma intuitiva, vamos definir limite analisando o gráfico abaixo.

As setas indicam que à medida que δ (lê-se: delta) se aproxima de a , pela direita ou pela esquerda e que os valores de ε (lê-se: épsilon) se aproximam de L . Consequentemente, quanto mais próximo δ estiver de a , mais próximo ε estará de L . Logo, concluímos que se f é contínua em a , então o limite de δ tendendo a a , a função f ( x ) é igual a f ( a ) .

lim x  → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Caso a função não seja contínua em a , é possível atribuir um limite a função, tal que:

lim x  → a ⁡ f ( x ) = L

Passo 2

Compreendendo a definição de limite, vamos resolver a questão. Observe que se substituirmos o valor de x na equação, tanto o numerador como o denominador serão iguais a zero, logo temos o caso de um limite contendo indeterminação do tipo zero sobre zero.

Para resolver este limite, contornando a indeterminação, devemos recorrer ao par conjugado da expressão que conte a raiz (do numerador).

lim x  →   25 ⁡ x - 5 x - 25

lim x  →   25 ⁡ ( x - 5 ) ( x + 5 ) ( x - 25 ) ( x + 5 )

lim x  →   25 ⁡ x 2 - 5 2 ( x - 25 ) ( x + 5 )

Vamos eliminar o fator comum,

lim x  →   25 ⁡ x - 25 ( x - 25 ) ( x + 5 )

lim x  →   25 ⁡ 1 x + 5

Passo 3

Após feitas as simplificações possíveis, iremos substituir o valor de x na equação.

lim x  →   25 ⁡ 1 x + 5 = 1 25 + 5 = 1 5 + 5 = 1 10

Passo 4

Outra forma de resolver é racionalizando o denominador. Observe que os dois temos “ x ” e “ 25 ” são números quadrados perfeitos, podendo ser reescrito na forma de um polinômio de diferença de dois quadrados que possuem esta forma

x 2 - a 2 = x - a x + a

Analogamente,

x - 25 = x 2 - 5 2 = ( x - 5 ) ( x + 5 )

Logo, reescrevendo a equação no limite, temos que

lim x  →   25 ⁡ x - 5 x - 25

lim x  →   25 ⁡ x - 5 x - 5 x + 5

Eliminando o fator comum,

lim x  →   25 ⁡ 1 x + 5

Substituir o valor de x na equação,

lim x  →   25 ⁡ 1 x + 5 = 1 25 + 5 = 1 5 + 5 = 1 10

Resposta

1 10